Для двух различных пересекающихся окружностей длина той хорды большей окружности, которая делится пополам меньшей окружностью, равна?

Выбросить преступника из$C_1$к$AB$и продлить. Затем$D$это середина$AB$. Выбросить преступника из$C_2$к$C_1D$продлевать.

Если$AC = 4a$,$C_2E = BD = a$и$C_1E = C_1D + C_2B$

$C_1D = \sqrt{1-a^2}, C_2B = \sqrt{2 - 4a^2}$

Использование Пифагора в$\triangle C_1EC_2$,

$(\sqrt{1-a^2} + \sqrt{2 - 4a^2})^2 + a^2 = 4$

$3 - 4a^2 + 2 \sqrt{1-a^2} \sqrt{2 - 4a^2} = 4$

$4 (1-a^2) (2 - 4a^2) = (1 + 4a^2)^2$

$8 - 24a^2 + 16a^4 = 1 + 16 a^4 + 8 a^2$

$\displaystyle 32a^2 = 7 \implies AC = 4a = \sqrt{\frac{7}{2}}$

Намекать :

С$AC$делится пополам в$B$,$C_2B \perp AC$.

Подсказка 2:

Круг с диаметром$AC_2$проходит через$B$. Следовательно$AB$является радикальной осью этой окружности и$S_1$.

Подсказка 3:

Расстояние любого из центров трех окружностей от радикальной оси легко вычислить. Используя некоторые прямоугольные треугольники, длина$AC$то можно определить.

В качестве альтернативы можно пойти на геометрическое решение.

Обозначая$M$середина$AC_2$,$AC_1BM$— воздушный змей с четырьмя известными сторонами и одной диагональю (по причинам, указанным в подсказке 2). Его другая диагональ$AB$можно найти с помощью теоремы Пифагора и удвоить, чтобы получить длину$AC$.

Да, есть другой путь с использованием тригонометрии:

Пусть в вашей системе координат:

$$B=(\cos \alpha, \sin \alpha) \ \text{and} \ C=(2+\sqrt{2}\cos \beta, \sqrt{2}\sin \beta)$$

Нам просто нужно выразить, что B является серединой [AC], написав, что

$$2B=A+C \ \iff \ \begin{cases}2\cos \alpha&=& \dfrac34+2+\sqrt{2}\cos\beta & (1a)\\2 \sin \alpha&=&\dfrac{\sqrt{7}}{4}+\sqrt{2}\sin \beta & (1b)\end{cases}$$

Это дает вам 2 уравнения в 2 неизвестных$\alpha$и$\beta$.

Возведение в квадрат и сложение (1a) и (1b) дает:

$$4=(\dfrac{11}{4}+\sqrt{2}\cos\beta)^2+(\dfrac{\sqrt{7}}{4}+\sqrt{2}\sin \beta)^2$$

Расширение и использование еще раз$\cos^2a +\sin^2 a=1$:

$$4=(\dfrac{11}{4})^2+2(\dfrac{11}{4})\sqrt{2}\cos\beta+(\dfrac{7}{16})^2+2\dfrac{\sqrt{7}}{4}\sqrt{2}\sin \beta+2$$

что является очень классическим уравнением$A \cos a + B\sin a=C$