Есть ли интуитивное объяснение того, почему сила Лоренца перпендикулярна скорости частицы и магнитному полю?

Попытка провести аналогию с обычным опытом кажется бесполезной; если бы я бежал на север через какое-то «поле» с западным течением, я бы не ожидал, что внезапно полетю в небо.

Это разумное ожидание, поскольку электрическое и гравитационное поля создают силы, направленные в направлении поля. Итак, давайте попробуем посмотреть, что пойдет не так, если мы запишем закон силы для магнетизма, который ведет себя точно так же. Первое, что мы могли бы попробовать, это

Ну, это не работает, потому что такая сила будет вести себя точно так же, как электрическая сила, и, следовательно, это будет электрическая сила, а не отдельное явление. Предполагается, что магнитные силы представляют собой взаимодействие движущихся зарядов с движущимися зарядами, поэтому ясно, что мы должны включить$\textbf{v}$с правой стороны. Одним из способов сделать это может быть стандартный закон силы Лоренца, но мы ищем какую-то альтернативу, которая находится в направлении поля. Таким образом, мы могли бы записать это:

В качестве примера того, что не так с этим, предположим, что у нас одинаковые заряды.$q$связаны вместе пружиной. Если они покоятся в равновесии, уравнение (2) говорит, что на них не действует магнитная сила. Но предположим, что мы заставим их немного вибрировать. Теперь они начнут стрелять в направлении магнитного поля. Это нарушает закон сохранения энергии и импульса.

По сути, это сводится к алгебраической проблеме. Векторное векторное произведение обладает распределительным свойством$(\textbf{v}_1+\textbf{v}_2)\times\textbf{B}=\textbf{v}_1\times\textbf{B}+\textbf{v}_2\times\textbf{B}$, а в примере зарядов на пружине с фактической силой Лоренца это гарантирует, что магнитные силы на двух зарядах уравновешиваются. Нам действительно нужно это дистрибутивное свойство, и на самом деле можно доказать, что векторное перекрестное произведение является единственно возможной формой векторного умножения (с точностью до мультипликативной константы), которая дает векторный результат, инвариантна относительно вращения, является дистрибутивной и коммутирует с скалярное умножение. (См. мою книгу http://www.lightandmatter.com/area1sn.html , приложение 2.)

Аргумент псевдовектора

Существует интуитивный аргумент, но первое, что нужно сделать, это взять двойственное Пуанкаре B. В трех измерениях существует эпсилон-тензор$\epsilon_{ijk}$который является инвариантным --- он не меняется при вращении. Оно имеет$\epsilon_{123}=1$и все перестановки дают знак минус, так что значение$\epsilon$равен нулю из двух индексов равных, и знак перестановки получить до 123, если они все разные. Эпсилон-тензор, сжатый с тремя векторами$v_1,v_2,v_3$дает площадь со знаком, натянутую параллелепипедом, который они образуют. Поскольку площадь со знаком является определителем матрицы v, составленной из трех столбцов, она меняет знак при отражении всех трех координатных осей.

Фундаментальная величина в электромагнетизме$B_{\mu\nu}=\epsilon_{\mu\nu\sigma}B^{\sigma}$, эпсилон-тензор сжался с B. Это антисимметричный тензор ранга 2. Поскольку$\epsilon$тензор инвариантен, антисимметричный тензор эквивалентен вектору относительно вращений, но не эквивалентен относительно отражений. Причина в том, что вектор меняет знак при отражениях, а тензор — нет. Это также верно для B --- это псевдовектор, если вы отражаете пространство проводом с током, направление B не меняется.

Тот факт, что B по своей сути является тензором, а не вектором, означает, что когда он взаимодействует с частицей со скоростью v, он может формировать силу только тогда, когда один из индексов сжимается с чем-то. Единственное, с чем можно сократиться, — это со скоростью, поэтому вы получаете$B_{\mu\nu}v^\mu$как сила, и это$v\times B$

В теории относительности это видится единственно естественным, поскольку поля Е и В вместе составляют антисимметричный 2-тензор, а четырехлоренцева сила есть этот тензор, стянутый с 4-скоростью. Эта форма настолько естественна и интуитивно понятна, что не требует подробного обоснования.

Более физическое переформулирование аргумента

Вышеизложенное звучит как бы формально, но это просто говорит о том, что магнитное поле не меняет знака при изменении координат пространства на противоположное. Чтобы увидеть это физически, рассмотрим соленоид тока, протянувшийся вдоль оси z от -а до а, с током в основном в плоскости ху вдоль каждой обмотки, и отразите этот соленоид в осях хуг. Отражение x меняет направление тока, отражение y возвращает его в исходное положение, а отражение z не меняет соленоид.

Поскольку ток один и тот же, B одинаков! Таким образом, B от соленоида не меняется при отражении. Таким образом, сила, действующая на частицу, не может действовать вдоль направления В, потому что сила меняет направление при отражении, а В — нет. Сила может быть направлена ​​только на величину, которая имеет обратное направление, и простейшая такая величина есть$v\times B$. При отражении v меняет направление, а B — нет, поэтому сила Лоренца правильно меняет направление.

Этот аргумент предполагает симметрию отражения, которая является симметрией электромагнетизма, но на самом деле не является фундаментальной симметрией в нашей Вселенной. Тот же аргумент отражения показывает, что магнитный заряд не является должным образом симметричным электрическому заряду, поскольку магнитный заряд меняет знак при отражении (отражать все координаты с зарядом в начале координат — поле перемещается в новое место, но указывает на то же самое). направлении, поэтому смысл магнитного заряда меняется на противоположный). Это свойство означает, что магнитные монополи были ранним признаком того, что природа не является инвариантной по четности, и может объяснить, почему Дирак не был удивлен, когда было показано, что слабые взаимодействия нарушают четность.

Другое предположение состоит в том, что сила является простейшей инвариантной к отражению комбинацией B и v. Если вы откажетесь от идеи, что сила линейно пропорциональна B, существуют более сложные комбинации, которые также работают, чтобы дать инвариантный к отражению закон силы. Эти комбинации обычно не подчиняются закону сохранения энергии.

Чтобы иметь автоматическое сохранение энергии (и автоматическое фазовое пространство с симплектическими свойствами), вы должны вывести свои уравнения движения из действия.

Гамильтонов аргумент и калибровочная инвариантность

Лучший аргумент исходит из концепции импульсного потенциала (или векторного потенциала). Подобно тому, как к энергии добавляется потенциальная энергия, т.$e\phi$, к импульсу добавляется потенциал, равный$eA$, где A — векторный потенциал.

Лагранжиан для взаимодействия

Что делает сопряженный импульс$mv + eA$, так что кинетическая энергия$(p-eA)^2\over 2m$а потенциальная энергия$e\phi$. Уравнения Гамильтона для этой энергии дают закон силы Лоренца. Уравнения Гамильтона:

И объединение уравнений в уравнение второго порядка для ускорения x дает закон силы Лоренца. Та же замена в гамильтониане$p$к$p-eA$, работает в теории относительности, чтобы дать правильный четырехмерный закон силы Лоренца.

Отождествление Б с$\nabla \times A$можно обосновать из инвариантности уравнений относительно добавления градиента к A. Классически физической частью A является его ротор, и его разумно отождествить с B в уравнениях Максвелла.

Этот аргумент фундаментально верен, потому что он не зависит от инвариантности отражения (любой аргумент, основанный на симметрии отражения, на самом деле фальшивка, поскольку мы знаем, что это не симметрия природы ни в каком фундаментальном смысле), и квантово-механически верен, когда вы интерпретируете калибровочная инвариантность как свобода в локальном фазовом переопределении волновой функции заряженной частицы. Единственным его недостатком является то, что он требует некоторого знакомства с принципом Гамильтона.

Сила Лоренца ортогональна скорости, что эквивалентно предположению, что сила не действует на заряженную частицу; он изменяет только направление скорости, а не ее величину.

Сила также ортогональна магнитному полю. Это следует из формулы, и этот факт – и вся формула – могут быть выведены различными методами, например, из специальной теории относительности.

Эта особенность – перпендикулярность силы к полю – отличает магнитное поле от электростатического и гравитационного полей. В этом отношении оно отличается: в отличие от электростатического и гравитационного поля, напряженность поля не является градиентом какого-либо «скалярного потенциала». Но парадокса нет. Различные эффекты в Природе могут следовать различным математическим формулам, и они часто так и делают.

Если у вас есть проблемы с этим, просто оцените это$(B_x,B_y,B_z)$который выглядит как вектор, это просто сокращение для$(F_{yz},F_{zx},F_{xy})$, три компоненты антисимметричного тензора с тремя индексами (компоненты являются подмножествами релятивистского тензора$F_{\mu\nu}$который также содержит электрическое поле).

Например, если$\vec B=(0,0,B_z)$, то ненулевая третья компонента может быть записана как$B_{z}=F_{xy}$и вместо стрелки в$z$-направление, вы можете визуализировать поле ориентированной петлей (со стрелкой) в$xy$-плоскость (к которой$z$-направленный вектор нормальный). Это одна и та же информация.

Эта петля в$xy$плоскости действительно говорит вам, что магнитное поле делает с заряженными частицами: оно вращает их скорости по часовой стрелке (или против часовой стрелки, в зависимости от знака$B_z$и заряд$Q$) в$xy$-самолет.

Вот пример из « Принципов электродинамики » Шварца , основанных на теории относительности. (Разве я только что дисквалифицировал этот ответ как «не интуитивный»? Продолжая, несмотря ни на что...)

Представьте себе бесконечный прямой провод с постоянным током, который состоит из равного количества положительных и отрицательных зарядов, текущих в противоположных направлениях (таким образом, чистая плотность заряда провода равна 0).

Теперь добавим частицу с зарядом q, движущуюся параллельно проводу с постоянной скоростью v (лабораторная система K). Какая сила действует на частицу?

Чтобы ответить, Шварц преобразует задачу в систему покоя K' частицы. Применяя соответствующее усиление Лоренца к четырехвектору заряда-тока провода, можно обнаружить, что в K' он имеет ненулевую плотность заряда. Таким образом, заряд притягивается к проводу электростатическим полем.

(Здесь есть два допущения/эмпирических факта: 1) в системе покоя частицы сила определяется электрическим полем, каким его видит частица, и 2) поскольку распределения заряда и тока не зависят от времени, можно рассчитать электрическую поле в K 'с помощью обычного подхода интегрирования по плотности заряда.)

Возвращаясь к лабораторной системе координат, можно найти ответ на вопрос, заключающийся в том, что движущийся заряд испытывает силу, перпендикулярную его скорости .

Если вы теперь отдельно рассчитаете В-поле для тока по обычной формуле, то обнаружите также, что рассчитанная выше сила удовлетворяет условию F = q vxB .

Конечно, вышеизложенное является лишь одним примером (и было бы неприменимо, если бы частица двигалась по направлению к проволоке, а не параллельно ей, потому что предположение 2 было бы нарушено). Существует более сложный процесс индукции, чтобы добраться до полного релятивистского аппарата. . Однако приведенный выше пример действительно устанавливает существование силы, перпендикулярной скорости заряженной частицы и магнитному полю.

Я приведу здесь очень короткий аргумент, основанный на квантовой механике. Этот аргумент на самом деле имеет глубокое физическое и историческое происхождение, которое я попытаюсь раскрыть в дальнейшем. В квантовой механике оператор скорости частицы во внешнем магнитном поле (при минимальной связи):

$\mathbf{v} = \frac{p - q \mathbf{A}}{m}$

Где$\mathbf{A}$— векторный потенциал. Отсюда следует, что магнитное поле задается с помощью канонических коммутационных соотношений:

$\mathbf{B} = - i m^2 \mathbf{v} \times \mathbf{v}$

Теперь это нетрудно проверить

$\mathbf{v}.\mathbf{F} \propto \epsilon_{ijk} [v_i, [v_j, v_k]]$

которое обращается в нуль по тождеству Якоби ($\mathbf {F}$— сила Лоренца), что и является требуемым соотношением ортогональности.

Этот «вывод» на самом деле является частью очень интересного рассуждения Фейнмана, за которым стоит очень интересная история. На самом деле аргумент требует не квантовой механики, а только понятия скобок Пуассона. Фейнман не воспринял этот аргумент всерьез и не опубликовал его. Только в 1990 году после его смерти этот аргумент был опубликован (от его имени) Дайсоном: F.Dyson, Am.J.Phys.58, 209 (1990).

Аргумент Фейнмана очень глубок, потому что он позволяет вывести всю теорию Максвелла (вместе с уравнением силы Лоренца), исходя из очень простых и основных предположений:

1. Канонические скобки Поссона положения и скорости.

2. Минимальная связь: электромагнитная сила, действующая на заряженную точечную частицу, зависит только от положения и скорости.

См. вводный раздел в следующей статье Каринены, Иборта, Мармо и Штерна.

Одним из обобщений этой процедуры является вывод уравнений Янга-Миллса по тем же принципам

Я полагаю, что можно думать об этом с точки зрения источника и ответа. Электрические и магнитные поля создаются источниками, а именно электрическими зарядами и токами. Токи можно представить себе как относительный дрейф между противоположно заряженными частицами.

Рассмотрим электрон со скоростью в плоскости xy (V$_{\phi}$) под действием магнитного поля вдоль +$\hat{z}$или Б$_{z}$. Для производства Б$_{z}$, мы могли бы использовать круглый провод тока, I$_{\phi}$, в плоскости xy, которая имела направление вектора в положительном азимутальном направлении (или против часовой стрелки). Токи определяются движением положительных зарядов, поэтому электроны движутся в противоположном направлении.

Таким образом, ускорение электрона за счет влияния B$_{z}$приведет к тому, что траектория частицы будет выглядеть как круг против часовой стрелки, как I$_{\phi}$упомянутый ранее. Однако ток, обусловленный этим электроном, I$_{e}$, находится в противоположном направлении от I$_{\phi}$, или я$_{\phi}$~ -я$_{e}$(игнорируя величины, просто беспокойтесь о знаке здесь).

Цель этого довольно сложного ответа — проиллюстрировать, что реакция электрона заключается в эффективном противодействии действующему на него полю. Это похоже на понятие индукции в законе Фарадея, согласно которому ток индуцируется, чтобы попытаться предотвратить изменение магнитного потока. Идея похожа на электрон, где его орбита фактически представляет собой индуцированный ток, и этот ток действует против B$_{z}$.

Это должно иметь смысл, поскольку необходимо сохранять энергию/импульс. Об этом можно думать двояко: Б.$_{z}$теряет энергию/импульс, чтобы ускорить электрон или B$_{z}$теряет энергию / импульс, потому что ток, индуцированный (орбитой электрона), действует против него. Хм, эта последняя часть более запутанная, чем я думал сначала. Интересно, должно ли "или" быть "и"? Несмотря на это, частица реагирует на поле, создающее эффективный ток, противоположный тому, который создал поле.

Я не люблю интуитивные объяснения, которые не интуитивны! Интуитивные объяснения не могут содержать формул и математики.

Следует провести аналогию, которая хотя и не совсем точна, но помогает читателю почувствовать что-то за сухой формулой или теоремой.

Я долго искал какое-то интуитивное объяснение силы Лоренца, и теперь я нашел одно, которое мне очень нравится.

Начнем с рисунка (ниже), на котором сила Лоренца представлена ​​как взаимодействие между воображаемыми магнитными трубками.

_{(источник: conspiracyoflight.com )}

Представьте себе человека, который смотрит на вертикальный магнит, южная часть которого находится слева, а северная часть — справа. Магнитные линии идут справа налево (N->S)

Теперь представьте положительный заряд, движущийся вертикально по магнитным линиям. Он генерирует магнитное поле вокруг себя по правилу правой руки. Линии этого поля горизонтальны и направлены против часовой стрелки.

Помните, что параллельные магнитные силовые линии, движущиеся в одном направлении, обычно являются следствием силы отталкивания. Параллельные магнитные силовые линии, движущиеся в противоположных направлениях, обычно являются следствием силы притяжения.

Если вы смотрите на магниты и движущийся заряд по вертикали, сзади (на дальней стороне) магнитные линии (внешние и генерируемый заряд) имеют одинаковое направление, что обычно создается прямой силой. Спереди (ближняя сторона) магнитные линии направлены в противоположную сторону, что обычно создается дополнительной поступательной силой.

Как следствие, на частицу действует сила от дальней стороны к ближней, что показано на рисунке темной стрелкой.

Наконец, если сила имеет составляющую в том же направлении, что и скорость, сила будет генерировать непрерывное увеличение скорости. Это создаст увеличение кинетической энергии навсегда, потому что магниты не нужно нагружать. Если бы сила имела составляющую, противоположную скорости, заряды прекратились бы, и в магнитном поле не было бы никакого электрического тока.

С появлением эйнштейновской трактовки электромагнетизма магнитные силовые линии были отнесены к воображаемой сущности. Тем не менее, это полезный подход к объяснению концепций!

Источник: https://www.conspiracyoflight.com/Lorentz/Lorentzforce.html .

Как насчет этого? Предположим, что сила Лоренца не перпендикулярна$v$(то есть$v$имеет ненулевую компоненту, параллельную$F$). Сила действует на заряд, заставляя его ускоряться... что, в свою очередь, увеличивает силу ($qvB$куда$v$компонент, параллельный$F$) это, в свою очередь, увеличивает ускорение, которое увеличивает силу, и так до бесконечности. Это, очевидно, нарушило бы закон сохранения энергии и, следовательно,$v$должны быть перпендикулярны$F$. Тот же аргумент объясняет, почему$B$должны быть перпендикулярны$v$.

Не дайте себя одурачить «странным» определением магнитного поля.$\boldsymbol{B}$. Рассмотрим две частицы, движущиеся со скоростями$\boldsymbol{v}_1$а также$\boldsymbol{v}_2$, разделенных расстоянием d (относительно близким, чтобы не учитывать эффекты задержки в распространении поля) и такими, что в данный момент вектор разделения между ними равен$\boldsymbol{r} = d\ \boldsymbol{\hat{u}}_{12}$(существование$\boldsymbol{\hat{u}}_{12}$единичный вектор). Сила частицы 1 на частицу 2:

а сила частицы 2 на частицу 1:

Используя векторное тождество$\mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) = (\mathbf{a}\times\mathbf{c})\times\mathbf{b} = (\mathbf{a}\times\mathbf{b})\times\mathbf{c}$, видно, что первая сила$\mathbf{F}_{1\to2}$находится в плоскости, образованной$\mathbf{\hat{u}}_{12}$а также$\mathbf{v}_1$. С другой стороны, вторая сила$\mathbf{F}_{2\to1}$находится в плоскости, образованной$\mathbf{\hat{u}}_{12}$а также$\mathbf{v}_2$.

Следовательно, сила, создаваемая каждой частицей, находится в плоскости, определяемой расстоянием и ее собственной скоростью: это немного похоже на то, как если бы каждая частица толкала в направлении своей собственной скорости и в направлении к другой частице !

Для интуиции, возможно, вы можете подумать об этом с экспериментальной точки зрения. Если вы посмотрите на заряженную частицу, движущуюся в однородном магнитном поле, движение будет круговым. Например, глядя на путь частицы в камере Вильсона.

Затем вы можете делать такие вещи, как измерение радиуса, и, поскольку он движется по кругу, вы понимаете, что должна быть внутренняя сила, которая находится под прямым углом к ​​​​направлению скорости движения.

Поскольку в центре круга нет другого заряда, вокруг которого вращается частица, или масса или сила гравитации, необходимые для того, чтобы частица вращалась вокруг чего-либо, должны создавать силу (мы называем ее силой Лоренца).

Вспоминая свою классическую механику, вы знаете

Вы можете провести другие эксперименты, например, изменить массу заряженной частицы и увидеть, как изменится радиус круга. Когда вы это сделаете, вы обнаружите, что радиус

$\rho=\frac{mv}{qB}$

или думать об ускорении для частицы массы в круге$\frac{mv^2}{\rho}$ты придумываешь силу

$f=qvB = \frac{mv^2}{\rho}$

В этот момент f = qvB совпадает с qvBsin(90), поскольку угол равен 90 градусам и что определение векторного произведения можно записать как

$\vec{v} \times \vec{B} = |v||B|\sin\theta\hat{n}$

И вы проведете еще несколько экспериментов и обнаружите, что угол между скоростью частицы и магнитным полем имеет значение, и запись векторных уравнений в терминах векторного произведения является хорошей короткой рукой для этого.

Так$F=q(\vec{v} \times \vec{B})$

Заряженная часть никогда не останется на месте. Вы пытаетесь решить без всего уравнения, но ваш ответ должен выглядеть так для рабочей модели. Вместо этого, если диск с положительным монополем, вы бы заменили его своей положительно заряженной частицей.