Нахождение силы между параллельными токами по формуле магнитного давления

Пусть имеются два параллельных проводника с током бесконечной длины, разделенные$d$несущие токи$i_1$&$i_2$соответственно в том же направлении.

Чтобы найти силу на бесконечно малой части$d\mathbf l$правого провода с током$i_2$магнитным полем левого провода с током$i_1$, Закон Био-Савара и$\mathbf F= id\mathbf l \times \mathbf B$используются, приводя к формуле

$$F= \frac{\mu_0\; i_1 i_2}{2\pi d}\;.$$

Но недавно я узнал еще одну вещь — магнитное давление .

Лист, по которому течет ток, резко меняет магнитное поле, параллельное листу и перпендикулярное току, с одной стороны на другую; Чем меньше толщина листа, тем больше скачок в изменении магнитного поля при переходе от одной стороны листа к другой. Это представлено в следующей формуле:

$$B_\text{$\perp$, front}- B_\text{$\perp$, behind} = \mu_0 \mathcal J\;.$$

Сила, действующая на токовый слой из-за этих магнитных полей, определяется выражением

$$\begin{align} F&=\left(\frac{B_\text{$\perp$, front} + B_\text{$\perp$, behind} }{2}\right)(B_\text{$\perp$, front} -B_\text{$\perp$, behind} )\cdot \frac{1}{\mu_0}\\& =\frac{1}{2\mu_0}\left[(B_\text{$\perp$, front})^2- (B_\text{$\perp$, behind} )^2\right]\cdot\end{align}\;.$$

Я хотел использовать эту формулу, чтобы вывести силу между правым проводом. Правильно ли использовать эту формулу, чтобы найти силу на нужном проводе?

Так,

$$B_\text{$\perp$, front}=-\frac{\mu_0i_1}{2\pi(d+\delta)}- \frac{\mu_0i_2}{2\pi\delta } \\B_\text{$\perp$, behind}=-\frac{\mu_0i_1}{2\pi(d-\delta)}+ \frac{\mu_0i_2}{2\pi\delta}$$ где $\delta$бесконечно малое приращение или уменьшение пространственного смещения от соответствующих проводов.

Итак, поставив эти значения на соответствующие места в уравнении магнитного давления, я получил

$$\begin{align}F&=\frac{1}{2\mu_0}\left[\left(-\frac{\mu_0i_1}{2\pi(d+\delta)}- \frac{\mu_0i_2}{2\pi\delta}\right)^2-\left(-\frac{\mu_0i_1}{2\pi(d-\delta)}+ \frac{\mu_0i_2}{2\pi\delta}\right)^2\right]\\&=\frac{1}{2\mu_0}\frac{\mu_0^2}{4\pi^2}\left[\frac{i_1^2}{(d+\delta)^2}-\frac{i_1^2}{(d-\delta)^2}+\frac{2i_1i_2}{(d+\delta)\delta}+\frac{2i_1i_2}{(d-\delta)\delta}\right]\\&=\frac{1}{2\mu_0}\frac{\mu_0^2}{4\pi^2}\left[\frac{i_1^2 d^2 +i_1^2\delta^2-2i_1^2d\delta-i_1^2d^2-i_1^2\delta^2-2i_1^2d\delta}{(d^2-\delta^2)^2}+ \frac{2i_1i_2d- 2i_1i_2\delta+ 2i_1i_2d+ 2i_1i_2\delta}{(d^2-\delta^2)\delta}\right]\\&=\frac{1}{2\mu_0}\frac{\mu_0^2}{4\pi^2}\left[-\frac{4i_1^2d\delta}{(d^2-\delta^2)^2 }+ \frac{4i_1i_2d}{(d^2-\delta^2)\delta}\right]\\&= \frac{\mu_0}{2\pi^2}\left[\frac{i_1i_2d}{(d^2-\delta^2)\delta}- \frac{i_1^2d\delta}{(d^2-\delta^2)^2}\right]\;.\end{align}$$

И так, КАТАСТРОФА ! Этого нигде нет в формуле, которую я вывел с помощью закона Био-Савара и уравнения силы Лоренца. Также есть площадь$\pi$в знаменателе, тогда как в формуле, полученной ранее с помощью закона Био-Савара и определения силы Лоренца, есть только одно$\pi$в знаменателе. Подливая масла в огонь ,$\delta \to 0$что означает, что отношение, к которому я пришел, используя магнитное давление, неопределенно :(

Итак, неправильно ли использовать соотношение магнитного давления для получения силы магнитного поля из-за параллельного провода, по которому течет ток?$i_1$в том же направлении?

Если нет, то что не так в моем подходе?

Заметьте, я никого не прошу сделать это для меня как своего рода просьбу; что я действительно хочу знать, так это правильный или неправильный мой подход к выводу силы с использованием отношения магнитного давления. И если это правильно использовать, почему это не дало того же результата, который я получил, используя закон Био-Савара и соотношение силы Лоренца.