Фермионный пропагатор как производная от скалярного пропагатора

Свободный скаляр и фермионный пропагатор

PS - В любом измерении гамма-матрицы определены так, чтобы удовлетворять$\{ \gamma^\mu , \gamma^\nu \} = - 2 \eta^{\mu\nu}$.

PPS — я использую метрическую подпись$(-,+,+,+,\cdots)$в этом ответе.

\subsection{Спенор Фейнман Пропагатор} рассмотрим операторное поле$b\psi$создать виртуальную частицу в событии y и$\psi$чтобы уничтожить эту виртуальную частицу частицы при четном x. Спинорный пропагатор включает в себя эти два полевых оператора. Пропагатор действительно соответствует своего рода функции плотности вероятности по y и x. Он представляет собой плотность вероятности того, что частица Дирака появится в точке y и исчезнет в точке x. мы покажем это вкратце:\ для виртуального спина$1/2$частицы фейнмановского пропагатора были\

Этот ответ взят из моей лекции о QFT, которую я подготовил. Я желаю вам найти то, что вы хотите, дайте мне знать. Предпочтительно записывать столкновение между частицами с точки зрения \textit{амплитуды} \textit{вероятности}. Пертурбативное приближение КТП предполагало, что частицы распространяются свободно, за исключением некоторых точек, когда происходит испускание или поглощение квантов. решение уравнений движения запишем в виде пертирбативного ряда вокруг свободного решения уравнений движения свободного поля. В методе используется функция Грина, которую Р.Фейнман дал в своей вероятностной интерпретации имплитюда. Уравнение движения свободного бозона (уравнение Кейна-Гордона) записывается:\

The $\Gamma$матрицы могут быть построены рекурсивно, d = 2 Используя матрицы Паули,$\gamma _{0}=\sigma _{1}$,$\gamma _{1}=-i\sigma _{2}$где две гамма-матрицы могут быть заданы как$\Gamma^{1} =$
$\begin{pmatrix} 1& 0\\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix}$
и$\Gamma^{2} =$
$\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}$
вы можете увидеть этот документ "Jeong-Hyuck Park, Lecture note on алгебра Клиффорда"

Извините, ваш вопрос странен для меня, гамма-матрицы определены в двух измерениях!!!! где вы находите эту тему?

Спиновые матрицы Паули

$\sigma^{1} =$
$\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}$
$\sigma^{2} =$ $\begin{pmatrix} 0 & - i\\ i & 0\\ \end{pmatrix}$ $\sigma^{3} =$ $\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & - 1\\ \end{pmatrix}$ $\sigma^{0} =$ $\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\\ \end{pmatrix}$\\

$I^{0} =$ $\begin{pmatrix} \sigma^{0} & \textbf{0}\\ \textbf{0} & \sigma^{0}\\ \end{pmatrix}$ $\textbf{0} =$ $\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0\\ \end{pmatrix}$\ матрицы$\gamma_{\mu}$призывник \textit{\textbf{матрицы Дирака}} будет записан:$\gamma_{\mu}$"="$\begin{pmatrix} 0 & -i\sigma_{i}\\ i\sigma_{i} & 0\\ \end{pmatrix}$ $i = 1, 2, 3$ $\gamma_{0}$"="$\begin{pmatrix} I & 0\\ 0 & - I\\ \end{pmatrix}$\ \ Я думаю, что вы имеете в виду это решение, но оно не означает два измерения, как я думаю: мы записали матрицы Дирака в блоках$2\times2$матриц, и аналогично четырехкомпонентное поле Дирака естественно записать как пару двухкомпонентных полей:

$\Psi =$ $\begin{pmatrix} \Psi_{L}\\ \Psi_{R}\\ \end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix} \Psi_{L}\\ 0\\ \end{pmatrix}$ $+$ $\begin{pmatrix} 0\\ \Psi_{R}\\ \end{pmatrix}$\ где$\Psi_{L}$и$\Psi_{R}$являются соответственно двумя верхними и нижними компонентами четырехкомпонентного поля Дирака:$\Psi_{L} =$ $\begin{pmatrix} \psi_{1}\\ \psi_{2}\\ \end{pmatrix}$и$\Psi_{R} =$ $\begin{pmatrix} \psi_{3}\\ \psi_{4}\\ \end{pmatrix}$\ Уравнение Дирака (5.2) принимает вид:\$i$ $\begin{pmatrix} \sigma^{0} & 0\\ 0 & \sigma^{0}\\ \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} \partial_{0}\Psi_{L}\\ \partial_{0}\Psi_{R}\\ \end{pmatrix}$ $+ i$ $\begin{pmatrix} - \sigma^{i} & 0\\ 0 & \sigma^{i}\\ \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} \partial_{i}\Psi_{L}\\ \partial_{i}\Psi_{R}\\ \end{pmatrix}$ $-m$ $\begin{pmatrix} 0 & \sigma^{0}\\ \sigma^{0} & 0\\ \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} \Psi_{L}\\ \Psi_{R}\\ \end{pmatrix}$ $= 0$\ Блочное умножение дает два связанных уравнения для$\Psi_{L}$и$\Psi_{R}$:\