Знак перед кинетическими терминами QFT

Да. Хотя энергия будет не неограниченной, а ограниченной сверху, если мой расчет верен.

Для вещественного скалярного поля при$(+---)$метрика, помимо отрицательной классической кинетической энергии для лагранжиана

$$\mathcal{L}=-\frac{1}{2} \partial^{\mu} \phi \partial_{\mu} \phi - \frac{1}{2} m^2 \phi^2 \tag{1}$$ , классическое уравнение движения будет $$(\square - m^2 )\phi=0 . \tag{2}$$ Для плоской волны $\phi ~\sim e^{ipx}$, это дает $p^2+m^2 = (p^0)^2 - \mathbf{p}^2+m^2=0$что противоречит релятивистскому соотношению энергии-импульса. Я не уверен, нужно ли его квантовать.

Хотя аргумент отношения энергии-импульса не работает для поля Дирака, мы можем квантовать его, чтобы увидеть, что энергия будет отрицательно определенной.

$$\mathcal{L} = \bar{\psi}( -i \gamma^{\mu} \partial_{\mu} - m ) \psi \tag{3}$$

Классическое уравнение движения

$$(i \gamma^{\mu} \partial_{\mu} +m) \psi=0 \tag{4}$$

Чтобы сохранить все свойства$u(\mathbf{p})$и$v(\mathbf{p})$, мы определяем

$$\psi =: u(\mathbf{p}) e^{ipx}$$ $$\psi =: v(\mathbf{p}) e^{-ipx}$$
Таким образом, мы можем заменить $u(\mathbf{p})$как $v(\mathbf{p})$и $v(\mathbf{p})$как $u(\mathbf{p})$в расширении $\psi$и $\bar{\psi}$. К $$\pi = -i \bar{\psi} \gamma^0$$ затем $$H= \int d^3 x \bar{\psi} ( i \gamma^i \partial_i \psi + m ) \psi$$

Подставьте расширения спиноров в картину Шредингера.

$$\psi = \int \frac{ d^3 p }{ (2\pi)^3} \frac{1}{ \sqrt{2 E_{\mathbf{p}}}} \sum_s \left( a_{\mathbf{p}}^s v^s (\mathbf{p}) e^{-i\mathbf{p} \cdot \mathbf{x} } + b_{\mathbf{p}}^{s\dagger} u^s(\mathbf{p}) e^{i \mathbf{p} \cdot \mathbf{x} } \right)$$ $$\bar{\psi} = \int \frac{ d^3 p }{ (2\pi)^3} \frac{1}{ \sqrt{2 E_{\mathbf{p}}}} \sum_s \left( b_{\mathbf{p}}^s \bar{u}^s (\mathbf{p}) e^{-i\mathbf{p} \cdot \mathbf{x}} + a_{\mathbf{p}}^{s\dagger} \bar{v}^s(\mathbf{p}) e^{i\mathbf{p} \cdot \mathbf{x}} \right)$$ у нас есть

$$H = \sum_{ss'} \int \frac{d^3p}{ (2\pi)^3 2E_{\mathbf{p}} } b_{\mathbf{p}}^{s'} b_{\mathbf{p}}^{s\dagger} \bar{u}^{s'}(\mathbf{p}) ( - \gamma^i p_i +m) u^s(\mathbf{p}) + a_{\mathbf{p}}^{s'\dagger} a_{\mathbf{p}}^{s} \bar{v}^{s'}(\mathbf{p}) ( \gamma^i p_i +m) v^s(\mathbf{p})$$ $$= \sum_{ss'} \int \frac{d^3p}{ (2\pi)^3 2E_{\mathbf{p}} } b_{\mathbf{p}}^{s'} b_{\mathbf{p}}^{s\dagger} \bar{u}^{s'}(\mathbf{p}) ( \gamma^0 p_0 ) u^s(\mathbf{p}) + a_{\mathbf{p}}^{s'\dagger} a_{\mathbf{p}}^{s} \bar{v}^{s'}(\mathbf{p}) ( - \gamma^0 p_0 ) v^s(\mathbf{p})$$ $$= \sum_s \int \frac{ d^3p}{ (2\pi)^3} E_{\mathbf{p}} ( b_{\mathbf{p}}^{s} b_{\mathbf{p}}^{s\dagger} - a_{\mathbf{p}}^{s\dagger} a_{\mathbf{p}}^{s} )$$ $$= \sum_s \int \frac{ d^3p}{ (2\pi)^3} - E_{\mathbf{p}} (b_{\mathbf{p}}^{s\dagger} b_{\mathbf{p}}^{s} + a_{\mathbf{p}}^{s\dagger} a_{\mathbf{p}}^{s} ) - \infty$$

Замена антикоммутатора на коммутатор сделает спектр неограниченным.

Знак действительно важен для обеспечения ограниченности энергетического спектра снизу. Кроме того, потенциальная яма для скаляра должна «открыться» для стабильности. Таким образом, когда вы говорите об изменении знака кинетического члена, вы могли бы иметь в виду две вещи.

Изменение относительного знака между кинетическим членом и наибольшей степенью$\phi$в потенциале (массовый член в случае свободного поля) не допускается, как это видно из классического уравнения движения в ответе выше. Изменение знака всего разрешено при условии, что вы также измените соглашения о том, как вы квантоваете теорию.$[\phi(t, x), \dot{\phi}(t, y)] = i\delta(x-y)$является правильным коммутационным соотношением, которое нужно наложить, когда сопряженный импульс равен$\dot{\phi}$. Конечно, это может быть$-\dot{\phi}$если бы мы хотели.

Для спиноров ситуация аналогична, когда мы меняем общий знак. То есть это имеет смысл только в том случае, если мы вернемся назад и перевернем все антикоммутационные соотношения, которые мы обычно принимаем как должное. Однако относительный знак между кинетическими и массовыми терминами больше не является физическим, как объясняется в этом ответе .