Можем ли мы рассматривать ψcψc\psi^{c} как поле, не зависящее от ψψ\psi?

Когда мы выводим уравнение Дирака из лагранжиана,

л "=" ψ ¯ я γ мю ∂ мю ψ − м ψ ¯ ψ ,
мы предполагаем ψ и ψ ¯ "=" ψ * Т γ 0 являются независимыми. Поэтому, когда мы берем производную лагранжиана по ψ ¯ , получаем уравнение Дирака
0 "=" ∂ мю ∂ л ∂ ( ∂ мю ψ ¯ ) "=" ∂ л ∂ ψ ¯ "=" ( я γ мю ∂ мю − м ) ψ .

Теперь, если мы включим член с зарядовым сопряжением, ψ с "=" − я γ 2 ψ * , в лагранжиан (как Δ л "=" ψ ¯ ψ с ), Означает ли это ψ с зависит от ψ ¯ или ψ ? Почему или почему нет?

Если ψ с зависит от ψ , почему бы не причина, что ψ ¯ и ψ являются независимыми подать заявку на ψ с и ψ ?

Если ψ с зависит от ψ ¯ , как мы должны взять производную от Δ л в отношении ψ ¯ ?

Ответы (2)

Да, когда мы хотим получить уравнение движения, используя уравнение Эйлера-Лагранжа, мы должны рассматривать ψ и ψ с независимый, но ψ ¯ и ψ с зависимый. Причина этого в том, что мы можем просто выразить ψ с с точки зрения ψ ¯ к

ψ с "=" С ψ ¯ Т ,
где С "=" − я γ 2 γ 0 – матрица зарядового сопряжения. Так ψ ¯ и ψ с имеют одну и ту же степень свободы.

Для производной от ψ ¯ ψ с в отношении ψ ¯ , нужно быть очень осторожным, потому что ψ является антикоммуникативным. Поскольку производная в уравнении Эйлера-Лагранжа фактически происходит от вариации лагранжиана, мы должны начать с вариации

дельта ( ψ ¯ ψ с ) "=" дельта ( ψ ¯ С ψ ¯ Т ) "=" дельта ( ψ я ¯ С я Дж ψ Дж ¯ ) "=" дельта ( ψ я ¯ ) С я Дж ψ Дж ¯ + ψ я ¯ С я Дж дельта ψ Дж ¯ "=" дельта ( ψ я ¯ ) С я Дж ψ Дж ¯ − дельта ( ψ Дж ¯ ) С я Дж ψ я ¯ ,
где я использую антикоммутацию полей, чтобы получить знак минус для последнего шага. Теперь обратите внимание, что С Т "=" С + "=" − С . Итак, последний термин
− дельта ( ψ Дж ¯ ) С я Дж ψ я ¯ "=" дельта ( ψ Дж ¯ ) С Дж я ψ я ¯ "=" дельта ( ψ я ¯ ) С я Дж ψ Дж ¯ .
и мы получаем дельта ( ψ ¯ ψ с ) "=" 2 дельта ( ψ ¯ ) С ψ ¯ Т . Следовательно, уравнение движения из этого члена имеет вид
∂ ∂ ψ ¯ ( ψ ¯ ψ с ) "=" 2 С ψ ¯ Т "=" 2 ψ с .

I) Спинор Дирака ψ и его комплексное сопряжение ψ * не являются независимыми переменными, но в некоторых расчетах их можно считать таковыми.

Для аналогичного вопроса о комплексном скалярном поле ф и его комплексное сопряжение ф * , см., например, этот пост Phys.SE.

II) Зарядово-сопряженное поле ψ с "=" − я γ 2 ψ * связано с комплексно-сопряженным ψ * биективным преобразованием, так что они не являются независимыми.

Спасибо за ваш краткий ответ. Я смущен. Для сложной переменной г всегда можно записать его как действительную и мнимую части г "=" Икс + я у . Если вы вычислите ∂ г * ∂ г или ∂ г ∂ г * , они оба равны нулю. Так что это та же самая причина, по которой следует принимать ∂ ф * ∂ ф "=" 0 , верно?
Напоминая о точном определении ∂ г * ∂ г "=" 0 "=" ∂ г ∂ г * , это не обязательно означает, что г и г * являются независимыми переменными. С одной стороны, если г * обозначает комплексное сопряжение г (так что г и г * не являются независимыми переменными), то ∂ г * ∂ г "=" 0 "=" ∂ г ∂ г * являются лишь следствием соответствующих определений. С другой стороны, если г и г * действительно независимы. комплексные переменные, то ∂ г * ∂ г "=" 0 "=" ∂ г ∂ г * автоматический.
Всегда можно написать Икс "=" г + г * 2 и у "=" г − г * 2 я . Тогда можно выразить производную как ∂ г "=" ∂ Икс ∂ г ∂ Икс + ∂ у ∂ г ∂ у "=" ∂ Икс − я ∂ у 2 Так что один получить ∂ г * ∂ г "=" ∂ г ∂ г * "=" 0 . Может быть, «независимый» — не самое подходящее слово для его описания, но, по крайней мере, это производная, которая входит в вывод уравнения Эйлера-Лагранжа.
Можем ли мы рассматривать ψcψc\psi^{c} как поле, не зависящее от ψψ\psi?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v