Физический смысл магнитной длины

Прежде всего, выражение для магнитной длины, которое вы даете, неверно: отсутствует квадратный корень:$l_B=\sqrt{\frac{\hbar c}{eB}}$.

Во-вторых, чтобы понять смысл, вам действительно не нужно думать о решетках или фазах волновой функции электрона, как это было в предыдущих ответах. Вместо этого начните с размышлений о движении классической заряженной частицы в магнитном поле. Если он имеет начальную скорость в направлении, перпендикулярном полю, он будет двигаться по окружности, радиус которой находится из второго закона Ньютона:$m v^2/R = \frac{e}{c}vB \Rightarrow R=\frac{mvc}{eB}$- так называемый ларморовский радиус.

Теперь давайте спросим себя, каков был бы наименьший радиус, допускаемый принципом неопределенности? Ведь ларморовский радиус$R\propto mv=p$, но принцип неопределенности гласит, что они не могут быть произвольно малыми одновременно. На самом деле неопределенности положения и импульса частицы ограничены$\Delta x \Delta p \geq \hbar/2$. Для частицы, движущейся по окружности,$\Delta x = 2R$пока$\Delta p = 2mv$. Чтобы свести к минимуму неопределенность, мы должны заменить$mv \to \hbar/R$в выражении для ларморовского радиуса (здесь я игнорирую фактор 8, но нам нужен физический смысл, а не точные числа). Это дает$R^2=\frac{\hbar c}{eB}$- что является выражением для магнитной длины! Другими словами, магнитная длина$l_B$имеет физический смысл наименьшего размера круговой орбиты в магнитном поле, допускаемого принципом неопределенности.

Физический смысл — это длина траектории электрона, на которой этот электрон приобретает фазовый множитель, сравнимый с$2\pi$от магнитного поля. Как правило, он довольно большой. Когда оно равно постоянной решетки, это означает, что магнитное поле сравнимо с электрическим полем в атоме, что является довольно редкой ситуацией.

Существует более глубокий смысл магнитной длины$l_B$. Это постоянная решетки двумерной (2D) искусственной структуры. Рассмотрим частицу, движущуюся в двумерной плоскости в перпендикулярном однородном магнитном поле напряженностью$B$. В классической механике система, очевидно, трансляционно инвариантна относительно любого переноса. Однако в квантовой механике это не так, потому что в уравнение Шредингера входит соответствующий векторный потенциал, который нарушает эту симметрию. Тем не менее, по-прежнему можно определить искусственную решетку с примитивными векторами$\vec{a}$и$\vec{b}$, так что перевод любым$\vec{R} = m\vec{a} + n\vec{b}$остается симметрией, если площадь элементарной ячейки$|\vec{a}\times\vec{b}|=l^2_B$. Это значит, что,$l_B$измеряет постоянную решетки этой искусственной решетки.

Подробнее см. в книге «Геометрическая фаза в квантовых системах » А. Бома и др. Также очень полезна эта статья: PRL49:405 (1982).