Физический смысл получения неинтегрируемой функции в уравнении

Во-первых, я не совсем понимаю, что вы имеете в виду под неинтегральной функцией. Джон Додсон обсудил две интерпретации, которые обычно появляются в физике: неэлементарные функции и сингулярности. Единственная другая возможность, о которой я могу думать, - это интегралы, подобные

$$\int_{-1}^{1}\mathrm{sin}(\frac{1}{x})dx$$ Это колеблется бесконечно много раз вблизи начала координат, так что в основном не определено при x = 0. Насколько мне известно, эти «патологические функции» не появляются в физике.

При этом я попытаюсь дать более удовлетворительный ответ, рассмотрев пример из электромагнетизма: функцию Грина. Чтобы вы знали, к чему все идет, я дам обзор: функция Грина важна для решения уравнений Максвелла для произвольных распределений заряда, но попытка ее вычисления наивно приводит к интегрированию, подобному$\int \frac{dx}{x}$- но для того, чтобы уравнения имели какой-либо смысл, нам нужно, чтобы этот интеграл был конечным . Для этого нам потребуется интегрировать через комплексную плоскость — странный процесс, дающий физически интерпретируемые результаты. Математика этого примера будет немного сложной, но для того, чтобы увидеть, что происходит, требуется лишь смутное понимание концепций.

Упрощенные уравнения Максвелла

Уравнения Максвелла говорят о взаимодействии электрического и магнитного полей через дифференциальные уравнения. Оказывается, мы можем представить электрическое и магнитное поля, введя единый потенциальный вектор$A$с четырьмя компонентами: один "временной" компонент$\phi/c$и три компоненты пространства, представленные вектором$\bf{\vec{A}}$. Тогда электрические и магнитные поля равны

$$\bf{\vec{E}}=\bf{\vec{\nabla}}\phi,\quad \bf{\vec{B}}=\bf{\vec{\nabla}}\times\bf{\vec{A}}$$ и уравнения Максвелла $$\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\phi(\bf{x},t)}{\partial t^2} - \nabla^2\phi(\bf{x},t) = \frac{\rho}{\epsilon_0} \\ \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\bf{\vec{A}}(\bf{x},t)}{\partial t^2} - \nabla^2\bf{\vec{A}} (\bf{x},t) = \mu_0\bf{\vec{J}}$$ (Вы можете перейти сюда , чтобы узнать больше об уравнениях Максвелла, и здесь , чтобы узнать больше об операторе $\bf{\vec{\nabla}}$).

Функция Грина

Давайте сосредоточимся на первом из уравнений Максвелла, на том, что$\phi$. Один из способов найти решения для любой заданной$\rho$(то есть плотность заряда) стоит начать с решений для$\rho=0$- то есть решения:

$$\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2} = \nabla^2\phi$$ Если вы в настоящее время работаете с исчислением, это уравнение может показаться пугающим; однако решение оказывается тривиальным: см. волновое уравнение в Википедии. Если мы можем связать решения уравнений Максвелла для любого $\rho$к этим известным решениям для $\rho=0$, то у нас все хорошо! Способ сделать это состоит в том, чтобы использовать функцию Грина для волнового уравнения: такую ​​функцию, что $$\phi_\rho(\bf{x},t) = \phi_0(\bf{x},t) + \int G(\bf{x-x'},t-t')\rho(\bf{x'},t')d^4 x$$ где $\phi_\rho$является решением уравнения Максвелла, и $\phi_0$является решением проблемы $\rho=0$случай. Интеграл берется по всем четырем измерениям пространства-времени (отсюда и символ $d^4x$). Существует специальное дифференциальное уравнение, которое дает нам функцию Грина, и его решение можно представить в виде:

$$G(\textbf{x},t) = \int \frac{e^{i(\omega t - \textbf{k}\cdot\textbf{x})}d^4k}{\omega^2 - \textbf{k}^2}$$

Этот интеграл проводится по четырем переменным: переменная «частота»$\omega$и вектор "волнового числа"$\textbf{k}$. Они соответствуют различным волновым решениям$\rho=0$уравнение.

Неинтегрируемая функция

Так какое это имеет отношение к вашему вопросу? Скажем, мы пытаемся проинтегрировать по переменной$\omega$. Это выглядит как

$$\int\left(\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{i(\omega t - \textbf{k}\cdot\textbf{x})}}{\omega^2 - \textbf{k}^2}d\omega\right) d^3\textbf{k}$$

Если мы разложим на частичную дробь, мы получим

$$\int\frac{e^{i(\textbf{k}\cdot\textbf{x})}}{2|\textbf{k}|}\left(\left(\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{i\omega t}}{\omega - |\textbf{k}|}d\omega\right) - \left(\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{i\omega t}}{\omega + |\textbf{k}|}d\omega\right)\right) d^3\textbf{k}$$ Оба этих внутренних интеграла явно проблематичны: интегрирование прямо из $-\infty$к $\infty$, мы пробегаем две особенности, когда $\omega = |\textbf{k}|$или $\omega = -|\textbf{k}|$!

Когда мы сталкиваемся с такими интегралами, нам приходится прибегать к некоторым хитростям, чтобы извлечь из них значимую информацию. Уловка, которую мы здесь используем, состоит не в том, чтобы интегрировать прямо от одного конца до другого, а в том, чтобы выбрать извилистый путь через комплексную плоскость, избегая неинтегрируемых сингулярностей. Возможные пути включают, но не ограничиваются:

«Расширенное» решение «Отсталое» решение

Запаздывающее решение названо так потому, что оно учитывает волны, распространяющиеся вперед во времени (что означает, что заряд$\rho$может повлиять только на будущее), а расширенное решение учитывает волны, которые движутся в обратном направлении во времени (имеется в виду заряд$\rho$может повлиять на прошлое). Поскольку мы еще не видели какой-либо возможности отправлять сообщения в прошлое, мы обычно интерпретируем отсталые решения как единственные «разрешенные»; передовые решения «запрещены» (хотя теория поглотителя Фейнмана-Уилера предлагает другую интерпретацию).

Отсроченное решение :

$$G_R(\textbf{x},t) = \Theta(t)\frac{\delta(t-\frac{r}{c})}{4\pi r}$$ Ступенчатая функция $\Theta(t)$равен нулю для отрицательного $t$, а дельта-функция Дирака $\delta(x)$равен нулю всякий раз, когда $x$отличен от нуля. $r$представляет собой радиус точки $\textbf{x}$. Таким образом, это уравнение соответствует волнам, распространяющимся вперед во времени со скоростью $c$.

Резюме

Подводя итог, можно сказать, что в определенные моменты в физические расчеты входят неинтегрируемые функции, и попытка интерпретировать эти интегралы и найти полезные решения может привести нас к более широкому пониманию физической ситуации.

Еще один важный способ, которым это происходит, связан с квантовой теорией поля. Вычисление взаимодействующих квантовых полей может привести к сильно расходящимся интегралам, ни один из которых не так легко избежать, как тот, который мы рассмотрели. Для работы с этими бесконечностями был создан класс методов, известных как «перенормировка», основанных на идее о том, что теории поля недействительны в малых масштабах, что указывает нам на более точную теорию высоких энергий, которая устранит бесконечности . Хотя поначалу это противоречиво, современное понимание таких теорий хорошо обосновано и имеет применение, выходящее за рамки избегания бесконечности. (Спасибо, Майкл Браун!)

Таким образом, можно утверждать, что неинтегрируемые функции не только возникают в нашем понимании природы , но и расширяют наше понимание ее, приводя нас к новым методам интерпретации .

Я надеюсь, что предоставил вам удовлетворительный пример и ответил на ваш вопрос.

РЕДАКТИРОВАТЬ: Первоначально я назвал методы перенормировки "спорными" - как указал Майкл Браун, это немного неверная характеристика. Когда они были впервые представлены, многие выдающиеся физики выразили недовольство этими методами, но лучшее понимание науки, лежащей в основе перенормировки, привело к хорошо обоснованной теории, и сегодня большинство квантовых теорий поля оцениваются по их способности к перенормировке.

Что ж, простым примером (хотя, возможно, и неудовлетворительным) может быть интеграл от 1/x из [0, a].

$\int\limits_0^a \frac{1}{x}dx$

Если вы проинтегрируете это, оно будет расходиться до бесконечности. Такое уравнение очень часто встречается в физике. В квантовой механике есть много примеров этого. Часто в квантовой механике подобные решения «выбрасываются» и считаются бессмысленными, в то время как другие решения, которые имеют смысл, сохраняются (это был грубый способ выразиться, но обычные книги, такие как Гриффитс или Таунсенд, учат такая математика). Вы можете себе представить, что это может привести к отталкивающим силам / полям, где радиус начинается с [0, a], и вы должны интегрировать по радиусу.

Возможно, вы говорите о неопределенных интегралах, которые неинтегрируемы, что сильно отличается от относительно простого примера, который я только что показал. Примеры такого типа можно найти на вики-странице, это довольно интересно.

http://en.wikipedia.org/wiki/Noelementary_integral

Их гораздо реже можно найти в физике, и часто это просто математические аномалии ... Но, глядя на аномалии на вики-странице, я узнаю одну, в частности:

$e^{-x^2/2}$

Это также чрезвычайно распространено в квантовой механике, когда вы начинаете использовать интегралы Гаусса. Это можно оценить с учетом определенных ограничений, но иногда у вас нет этих конкретных ограничений, и вам нужно использовать другие методы для оценки интеграла. Имейте в виду, что это очень реально физически и даже физики элементарных частиц в ЦЕРН все время используют при анализе данных. Что вам нужно сделать, так это использовать расширение ряда Тейлора или функцию ошибок, чтобы аппроксимировать ответ... точного ответа найти нельзя, но довольно точные ответы можно найти, используя эти два метода.

Надеюсь это ответит на твой вопрос!

Я хотел бы резюмировать, что меня удовлетворило из каждого ответа на этот вопрос.

Правда, при вычислениях часто встречаются неинтегрируемые или неэлементарные функции. Они являются своего рода отзывом о нашей теории относительно того, насколько точно она может изображать Природу.

Мы должны перенормировать нашу теорию, точнее, наше понимание этой ситуации, чтобы избежать расхождения в решении.

Я благодарю @FrancisFlute за этот прекрасный пример функции Грина, который показывает, что такие интегралы действительно встречаются в физике, и это приводит к тому, что мы меняем наше понимание природы, в конечном итоге формируя лучшие теории!