Физика гитары

Давайте посмотрим на частоту вместо нот. Допустим, собственная частота струны равна$100 Hz$и что гармоники присутствуют, когда вы щипаете его. Тогда частотная составляющая звука будет иметь вид:

$a_1 \cdot 100 Hz + a_2 \cdot 200 Hz + a_3 \cdot 300 Hz + ...$

Теперь предположим, что вы зажали эту струну наполовину так, что собственная частота стала$200 Hz$. При перещипывании частотное содержание звука будет иметь вид:

$b_1 \cdot 200 Hz + b_2 \cdot 400 Hz + b_3 \cdot 600 Hz + ...$

Увидеть разницу? Во втором звуке отсутствуют многие частоты, которые содержались в первом звуке.

Существует ряд причин, по которым возникают гармоники. Во-первых, когда вы дергаете струну, начальная конфигурация не является чистой синусоидой, а больше похожа на пилообразную или треугольную. Легко математически показать, что пилообразную или треугольную форму можно «построить» из основной гармоники и гармоник. Только синусоида имеет одну частоту.

Выщипывание в другой точке изменяет исходную конфигурацию и, следовательно, частотное содержание.

Частота — это просто способ анализа движения, зависящего от времени. Рассмотрим защипывание струны, сначала потянув за одну точку струны из положения равновесия. Форма струны будет похожа на треугольник, две прямые части струны отходят от того места, где ваш палец держит струну, но встречаются под небольшим углом, где ваш палец держит струну.

Этот треугольник можно выразить как сумму синусоид с помощью анализа Фурье. Мы знаем, что концы строки должны быть равны 0, поэтому мы знаем, что в разложении Фурье используются только компоненты Фурье, у которых 0 на двух концах строк. Итак, у нас есть

Удивительно, но каждая из этих пространственных составляющих Фурье будет соответствовать временной частотной составляющей, одной из гармоник, которую мы увидим, когда отпустим струну (завершим щипок). Струна не будет сохранять свою треугольную форму, потому что разные компоненты Фурье будут развиваться с разной скоростью.

Таким образом, мы имеем сложную зависящую от времени форму защипнутой струны.$S(x,t)$что оказывается выраженным как сумма синусоидальных форм струны, которая начинается как треугольная форма исходного щипка.

Подключение к временной области

Выше мы записали пространственные уравнения в виде ряда Фурье. Лучший постер, чем я, на самом деле нашел бы значения$a_n$чтобы составить для вас красивую треугольную волну, но я не буду этого делать. Но это ценности$a_n$вы бы хотели.

Но мы можем сделать лучше. Каждая пространственная компонента Фурье$sin(n\pi x/L)$имеет специфическую гармоническую временную эволюцию, связанную с ним$cos(n\omega_0 t)$.$f_n = n w_0/(2\pi)$гармонические частоты, о которых говорилось ранее. Таким образом, у нас есть решение, зависящее от времени, для движения выпущенной струны:

Если бы мы могли первоначально дернуть струну в форме половины синусоиды, простирающейся от x=0 до x=L, когда ее отпустили бы, она бы резонировала ТОЛЬКО на основной частоте f_0. Но треугольная форма струны разлагается на множество составляющих синусоидальной волны, каждая из которых будет эволюционировать во времени быстрее, чем более низкие гармоники. Чистая эволюция$S(x,t)$это действительно будет что-то красивое, и если бы вы, ребята, начали платить мне, я бы написал код Matlab, чтобы сделать анимацию и выяснить, как ее опубликовать. Но бесплатно вы должны быть мотивированы, чтобы закодировать это самостоятельно, чтобы увидеть это. Достаточно сказать, что как только движение началось, струна уже не выглядит как треугольная волна.

Таким образом, поскольку наша исходная струна имеет форму струны, которую можно записать в виде ряда Фурье по многим различным синусоидальным компонентам, струна, когда она движется, будет иметь гармоническое движение на многих различных частотах, все гармоники частоты$n=1$самая длинная синусоида с временным изменением.

Мы не пытались написать пространственно-временное дифференциальное уравнение, из которого следует это решение. Всему этому вы научитесь в свое время. Мы просто предложили решение, которое, по крайней мере, имеет интуитивный смысл: чем выше «пространственная частота» синусоидальной составляющей струны, тем выше временная частота, связанная с этой пространственной составляющей, и именно так мы получаем все эти гармоники в наша натянутая струна.

http://www.ftj.agh.edu.pl/pl/000.html?plik=video/jf2008_noc_gitara.html - недавние выпускники рассказывают о физике гитары на польском языке, некоторые диаграммы могут быть полезны для говорящих по-английски.