Геодезические уравнения метрики FRW (символы Кристоффеля)

Я работаю со стандартной метрикой FRW,

$$ds^2=dt^2-a^2\left [\frac{dr^2}{1-kr^2}+r^2(d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2)\right ]$$

Используя определение символов Кристоффеля,

$$\Gamma^c_{ab}=\frac{1}{2}g^{cd}(g_{ad,c}+g_{bd,a}-g_{ab,d})$$

Я нашел ненулевые символы Кристоффеля для метрики FRW, используя обозначение$(t,r,\theta,\phi)=(0,1,2,3)$,

$$\Gamma^{0}_{11}=\frac{a\dot{a}}{1-kr^2} \ \ ,\ \ \Gamma^{0}_{22}=a\dot{a}r^2 \ \ ,\ \ \Gamma^{0}_{33}=a\dot{a}r^2 \sin^2\theta \ \ , \ \ \Gamma^{1}_{11}=\frac{kr}{(1-kr^2)}$$

$$\Gamma^{1}_{01}=\Gamma^{1}_{02}=\Gamma^{1}_{03}=\frac{\dot{a}}{a} \ \ ,\ \ \Gamma^{1}_{22}=-r(1-kr^2) \ \ ,\ \ \Gamma^{1}_{33}=-r(1-kr^2) \sin^2\theta$$

$$\Gamma^{2}_{12}=\Gamma^{3}_{13}=\frac{1}{r} \ \ ,\ \ \Gamma^{2}_{33}=-\sin\theta \cos\theta \ \ ,\ \ \Gamma^{3}_{23}=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}$$

Теперь я пытаюсь вывести геодезические уравнения для этой метрики, которые задаются как

$$\frac{d^2x^\mu}{ds^2}+\Gamma^{\mu}_{\nu\lambda}\frac{dx^\nu}{ds}\frac{dx^\lambda}{ds}=0$$

Например, для$\mu=0$, Я понимаю,

$$\frac{d^2t}{ds^2}+\frac{a\dot{a}}{1-kr^2}\left (\frac{dr}{ds}\right )^2+a\dot{a}r^2\left (\frac{d\theta}{ds}\right )^2+a\dot{a}r^2 \sin^2\theta\left (\frac{d\phi}{ds}\right )^2=0$$

Однако, когда я сверился с этим документом в разделе геодезических ( http://popia.ft.uam.es/Cosmology/files/02FriedmannModels.pdf ), они получили,

$$\frac{|u|}{c}|\dot{u}|+\frac{\dot{a}}{a}|u|^2=0$$

где$\frac{du^0}{ds}=\frac{|u|}{c}|\dot{u}|$и$u^\mu=\frac{dx^\mu}{dt}$.

Я не уверен, что я делаю неправильно или это просто вопрос соглашения. Я также проверил этот вопрос ( геодезические для метрики FRW с использованием вариационного принципа ), но метрика FRW немного отличается, поэтому это не помогло.