Символы Кристоффеля из уравнения геодезических для метрики с недиагональными элементами

Question

Символы Кристоффеля из уравнения геодезических для метрики с недиагональными элементами

Тот самый

В случае диагональной метрики

\begin{aligned} д с^{2} "=" г_{мю ν} д {Икс}^{мю} д {Икс}^{ν}, \end{aligned}

$\begin{align} \mathrm{d}s^2=g_{\mu\nu}\mathrm{d}{x}^\mu\mathrm{d}{x}^\nu, \end{align}$ относительно просто найти символы Кристоффеля, сравнивая уравнение Эйлера-Лагранжа

\begin{aligned} \frac{д}{д т} (\frac{\partial л}{\partial {\dot{Икс}}^{мю}}) - \frac{\partial л}{\partial {Икс}^{мю}} "=" 0, \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\tau}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}^\mu}\right)-\frac{\partial L}{\partial x^\mu}=0, \end{align}$ где

L = \frac{1}{2} g_{μ ν} {\dot{x}}^{μ} {\dot{x}}^{ν}

$L=\frac{1}{2}g_{\mu\nu}\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu$ и

{\dot{x}}^{μ} = d x^{μ} / d τ

$\dot x^\mu=\mathrm{d}x^\mu/\mathrm{d}\tau$ , к уравнению геодезических

\begin{aligned} {\ddot{Икс}}^{мю} + Г_{р о}^{мю} {\dot{Икс}}^{р} {\dot{Икс}}^{о} "=" 0. \end{aligned}

$\begin{align} \ddot{x}^\mu+\Gamma_{\rho\sigma}^\mu\dot x^\rho\dot x^\sigma=0. \end{align}$

Однако это становится менее простым для метрики с недиагональными членами. Дополнительные перекрестные члены в линейном элементе приведут к появлению в уравнении Эйлера-Лагранжа не одного, а двух производных членов второго порядка, что сделает прямое сравнение с геодезическим уравнением менее информативным.

Рассмотрим для иллюстративных целей двумерную метрику

\begin{aligned} д с^{2} "=" ф д т^{2} + г д т д р + час д р^{2}, \end{aligned}

$\begin{align} \mathrm{d}s^2=f\mathrm{d}t^2+g\mathrm{d}t\mathrm{d}r+h\mathrm{d}r^2, \end{align}$ с произвольными функциями

f = f (t, r), g = g (t, r), h = h (t, r)

$f=f(t,r),g=g(t,r),h=h(t,r)$ .

В этом случае $\mu=t$ и $\mu=r$ компоненты дают для уравнений Эйлера-Лагранжа соответственно

\begin{aligned} 2 ф \ddot{т} + г \ddot{р} + 2 (\frac{\partial ф}{\partial т} \dot{т} + \frac{\partial ф}{\partial р} \dot{р}) \dot{т} + (\frac{\partial г}{\partial т} \dot{т} + \frac{\partial г}{\partial р} \dot{р}) \dot{р} - \frac{\partial ф}{\partial т} {\dot{т}}^{2} - \frac{\partial г}{\partial т} \dot{т} \dot{р} - \frac{\partial час}{\partial т} {\dot{р}}^{2} "=" 0 \\ 2 час \ddot{р} + г \ddot{т} + 2 (\frac{\partial час}{\partial т} \dot{т} + \frac{\partial час}{\partial р} \dot{р}) \dot{р} + (\frac{\partial г}{\partial т} \dot{т} + \frac{\partial г}{\partial р} \dot{р}) \dot{т} - \frac{\partial ф}{\partial р} {\dot{т}}^{2} - \frac{\partial г}{\partial р} \dot{т} \dot{р} - \frac{\partial час}{\partial р} {\dot{р}}^{2} "=" 0. \end{aligned}

$\begin{align} 2f\ddot t+g\ddot r+2\left(\frac{\partial f}{\partial t}\dot t+\frac{\partial f}{\partial r}\dot r\right)\dot t+\left(\frac{\partial g}{\partial t}\dot t+\frac{\partial g}{\partial r}\dot r\right)\dot r-\frac{\partial f}{\partial t}\dot t^2-\frac{\partial g}{\partial t}\dot t\dot r-\frac{\partial h}{\partial t}\dot r^2=0\\ 2h\ddot r+g\ddot t+2\left(\frac{\partial h}{\partial t}\dot t+\frac{\partial h}{\partial r}\dot r\right)\dot r+\left(\frac{\partial g}{\partial t}\dot t+\frac{\partial g}{\partial r}\dot r\right)\dot t-\frac{\partial f}{\partial r}\dot t^2-\frac{\partial g}{\partial r}\dot t\dot r-\frac{\partial h}{\partial r}\dot r^2=0. \end{align}$

Теперь дополнительные $g\ddot r$ в первом и $g\ddot t$ во втором уравнении запрещают прямое сравнение с геодезическим уравнением и последующее нахождение символов Кристоффеля.

Как мы вообще находим символы Кристоффеля для метрики с недиагональными членами таким образом? Так же просто, как заменить одно уравнение Эйлера-Лагранжа другим, чтобы исключить любой из производных членов второго порядка?

Qмеханик

Отличаются ли ваши символы Christoffel от символов Levi-Civita Christoffel?

Майк Стоун

Почему бы вам не работать над тем, как уравнение

{\ddot{x}}^{μ} + Γ_{ρ σ}^{μ} {\dot{x}}^{ρ} {\dot{x}}^{σ}

$\ddot x^\mu+\Gamma^\mu_{\rho \sigma} \dot x^\rho \dot x^\sigma$ представляет собой уравнение Эйлера Лангранжа из

\int d τ g_{m u ν} {\dot{x}}^{μ} {\dot{x}}^{ν}

$\int d\tau g_{mu\nu} \dot x^\mu\dot x^\nu$ . Это ответит на ваш вопрос для вас. (Подсказка: используйте

g^{μ ν}

$g^{\mu\nu}$ )

Ответы (3)

Символы Кристоффеля из уравнения геодезических для метрики с недиагональными элементами

Отличаются ли ваши символы Christoffel от символов Levi-Civita Christoffel?
Почему бы вам не работать над тем, как уравнение $\ddot x^\mu+\Gamma^\mu_{\rho \sigma} \dot x^\rho \dot x^\sigma$ представляет собой уравнение Эйлера Лангранжа из $\int d\tau g_{mu\nu} \dot x^\mu\dot x^\nu$ . Это ответит на ваш вопрос для вас. (Подсказка: используйте $g^{\mu\nu}$ )

Айлон Пинто · Answer 1

Айлон Пинто

Если предположить отсутствие кручения и совместимость метрики со связью ( $\nabla_{\mu}g_{\alpha\beta}=0$ ) есть формула:

Г_{α β}^{мю} "=" \frac{1}{2} г^{мю р} (\partial_{α} г_{р β} + \partial_{β} г_{р α} - \partial_{р} г_{α β})

$\Gamma^{\mu}_{\alpha\beta}=\frac{1}{2}g^{\mu\rho}(\partial_{\alpha}g_{\rho\beta}+\partial_{\beta}g_{\rho\alpha}-\partial_{\rho}g_{\alpha\beta})$

Майк Стоун

Ваше геодезическое уравнение не совсем верно. Он должен иметь

Γ_{ρ σ}^{μ}

$\Gamma^\mu_{\rho \sigma}$ . Но, что более важно, что вы имеете в виду под первым геодезическим уравнением, справедливым только для «диагональной метрики»? Геодезическим уравнением является уравнение Эйлера-Лагранжа. Ваш оригинал

g_{μ ν} d x^{μ} d x^{ν}

$g_{\mu \nu} dx^\mu dx^\nu$ является довольно общим и не "диагональным".

Айлон Пинто

Я думаю, вы хотели похвалить это по вопросу?

Майк Стоун

Я имею в виду, что уравнение геодезической является уравнением Эйлера-Лагранжа для

\int d τ g_{μ, ν} (x) {\dot{x}}^{μ} {\dot{x}}^{ν}

$\int d\tau g_{\mu,\nu}(x) \dot x^\mu \dot x^\nu$ . Если вы этого не понимаете, вы совершаете ошибку.

Айлон Пинто

Да я это знаю, я не задавал вопрос, я ответил на него...

Майк Стоун

Да. Извини! Я хотел прокомментировать вопрос, а не ваш ответ!

Тот самый

Правда есть тип в моем геодезическом уравнении, поменяю, спасибо, что заметили. Я имел в виду, что геодезическое уравнение больше не имеет той формы, в которой я его написал, из-за того, что теперь есть два члена производной второго порядка, поэтому вы больше не можете легко читать символы Кристоффеля. Кроме того, уравнение, написанное Эйлоном Пинто, прекрасно работает, если вы ищете конкретный символ Кристоффеля, но оно становится очень сложным, если вы хотите найти их все (включая исчезающие), поскольку это 64 уравнения для четырехмерного пространства-времени.

Айлон Пинто

Насколько мне известно, это единственная общая форма символа Кристоффеля. Также геодезическое уравнение

{\ddot{x}}^{μ} + Γ_{ρ σ}^{μ} {\dot{x}}^{ρ} {\dot{x}}^{σ} = 0

$\ddot{x}^\mu+\Gamma_{\rho\sigma}^\mu\dot x^\rho\dot x^\sigma=0$ также является общим геодезическим уравнением в координатах, поскольку оно выводится из параллельного переноса с использованием ковариантной производной. Так что я не очень понимаю, что вы хотите знать в этот момент.

Тот самый

Действительно, я думаю, что это единственный другой метод нахождения символов Кристоффеля и, вероятно, самый эффективный способ в случае метрики с недиагональными членами.

PJ_Finnegan · Answer 2

Вы можете альтернативно ввести символы Кристоффеля через параллельный перенос и ковариантную производную.
Геодезическая характеризуется нормированной скоростью $dx^{i}/ds$ будучи параллельно переносимым (т. е. постоянным по величине и направлению в метрике), это означает, что его ковариантная производная обращается в нуль.
Из этого можно составить геодезические дифференциальные уравнения, и через ковариантную производную появятся символы Кристоффеля.

Джерри Ширмер · Answer 3

Если вы ДЕЙСТВИТЕЛЬНО хотите найти символы Кристоффеля таким образом, вы в основном всегда будете получать кучу вторых производных терминов и кучу продуктов первых производных терминов. Вы всегда можете просто разбить их на матрицу 4x4. $A_{ij}$ так что ваши четыре уравнения вариации выглядят как

$A_{ij}\frac{d^{2}x^{i}}{ds^{2}} = \left({\rm products\, of\, first\, derivative\, terms}\right)_j$

Затем просто инвертируйте матрицу А, и вы получите четыре геодезических уравнения.

Однако будет меньше работы, если просто использовать общую формулу для символов Кристоффеля, за исключением, может быть, некоторых очень специальных случаев.

Символы Кристоффеля из уравнения геодезических для метрики с недиагональными элементами

Тот самый

Qмеханик

Майк Стоун

Ответы (3)

Айлон Пинто

Майк Стоун

Айлон Пинто

Майк Стоун

Айлон Пинто

Майк Стоун

Тот самый

Айлон Пинто

Тот самый

PJ_Finnegan

Джерри Ширмер

Уравнение движения фотона в заданной метрике

Интерпретация нормальных координат

Как найти нулевую геодезическую?

Действие Эйнштейна-Гильберта не дает тех же результатов, что и уравнения поля Эйнштейна для данной метрики.

Вычисление символов Кристоффеля с помощью геодезического уравнения

Тензор энергии-импульса и ковариантная производная

Геодезическое уравнение Эйлера - Лагранжа

Вариация символов Кристоффеля относительно gμνgμνg^{\mu\nu}

Геометрия нулевых гиперповерхностей

Сохраняющееся количество по геодезической и метрической