геометрический вид подобных и конгруэнтных матриц

Я пытаюсь понять сходство ( А ∼ Б ⟺ А "=" С Б С − 1 ) и соответствие ( А ≅ Б ⟺ А "=" п Б п Т , п е г л ( н , р ) ) через геометрические аналогии.

Для треугольников:

  • аффинные преобразования (т. е. равномерное масштабирование, вращение, отражение, перевод [?]) сохраняют подобие. Два подобных треугольника имеют равные углы, но могут иметь разную длину сторон (т. е. они измеряются в разных базисах).
  • унитарные преобразования (т. е. вращение, отражение, перевод [?]) сохраняют конгруэнтность

Для матриц:

  • подобие сохраняет идею линейного преобразования; наиболее «геометрически» сохраняются собственные значения, но не сохраняются углы между векторами
  • конгруэнтность сохраняет указанное выше НЕ сохраняет спектр , но сохраняет углы между векторами (моя интерпретация свойства билинейной формы ) и количество положительных/отрицательных/нулевых собственных значений

Однако нам требуется только п быть обратимым для матричной конгруэнтности А "=" п Б п Т . Почему мы не требуем п быть унитарным (т. е. почему мы позволяем спектру изменяться)? Почему примыкает п Т важный?

Кроме того, есть ли аналогия для размышлений о (1) том, как углы между векторами сохраняются благодаря конгруэнтности, но не сходству с матрицами, и (2) как углы между катетами треугольников сохраняются как при сходстве, так и при конгруэнтности, или я слишком много читаю в соглашения об именах?

конгруэнтность - это правильный способ найти матрицу (Гессиана) квадратичной формы при замене базиса.

Ответы (1)

Я думаю, вы все смешиваете. Когда мы говорим о конгруэнтности, матрицы не действуют на векторы и, следовательно, углы не могут сохраняться. «Похожее» в «подобных треугольниках» не имеет ничего общего с «подобием» «подобных матриц». Когда вы пишете «аффинные преобразования (т.е. равномерное масштабирование, вращение, отражение, перемещение[?])», вы далеки от определения аффинной функции.

  1. Аффинная функция имеет вид ф : Икс е р н → А Икс + б е р п где А е М п , н , б е р п фиксированы.

  2. Подобие треугольников на плоскости. Оно связано (с точностью до перевода) с преобразованием вида г е С → а г (для прямого сходства) или г е С → а г ¯ (для обратного подобия), где а "=" ты + я в является фиксированным комплексом. Это композиция гомотетии, вращения и, в конце концов, симметрии. Соответствующее линейное приложение имеет вид ( ты − в в ты ) (в векторном подпространстве М 2 который изоморфен С ).

  3. Когда мы говорим о подобии матриц, матрица А рассматривается как линейная функция и действует на векторы: у "=" А Икс . По смене основы у "=" п у ′ , Икс "=" п Икс ′ и у ′ "=" п − 1 А п Икс , то есть новая матрица п − 1 А п .

Когда мы говорим о конгруэнтности матриц, матрица А рассматривается как билинейная форма и действует на пару векторов ( Икс , у ) : ф ( Икс , у ) "=" Икс Т А у . По смене основы у "=" п у ′ , Икс "=" п Икс ′ и Икс Т А у "=" Икс ′ Т п Т А п у ′ , то есть новая матрица п Т А п .

Обратите внимание, что если мы используем стандартный внутренний продукт < . > , ф ( Икс , у ) =< А у , Икс >=< у , А Т Икс > , то есть определение сопряженного А Т .

  1. Ортогональные матрицы U связать два предыдущих понятия, потому что U Т "=" U − 1 : ортонормированной заменой базиса матрица А можно рассматривать как матрицу билинейной формы или как матрицу линейной функции.

РЕДАКТИРОВАТЬ. Ответ на jjjjjj . Позволять Т 1 , Т 2 быть два треугольника. Согласно стандартным определениям,

Т 1 , Т 2 подобны тогда и только тогда, когда ф ( Т 1 ) "=" Т 2 где ф аффинно (ср. 1.) с А "=" λ U где λ > 0 и U является ортогональным.

Т 1 , Т 2 конгруэнтны тогда и только тогда, когда ф ( Т 1 ) "=" Т 2 где ф аффинно (ср. 1.) с А "=" U ортогональный.

Обратите внимание, что если дет ( U ) "=" 1 , то углы сохраняются и если дет ( U ) "=" − 1 , то углы превращаются в свои противоположные.

Предположим, что Т 1 , Т 2 совпадают и лежат на листе. Если дет ( U ) "=" 1 , то мы можем перетащить Т 1 на Т 2 . Если дет ( U ) "=" − 1 , то переворачиваем Т 1 , после чего перетаскиваем его на Т 2 .

Спасибо! Я пытался установить связь между треугольниками и матрицами; представление сходства и конгруэнтности как свойств, которые мы определили для операторов, помогает лучше понять условия, которые нам нужны для п для аффинных преобразований, билинейных форм или того и другого
Упрямо, однако, есть ли способ переинтерпретировать сходство и конгруэнтность для треугольников через эту линзу линейной функции / билинейной формы?
геометрический вид подобных и конгруэнтных матриц
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v