Почему det(ATA)−−−−−−−−√det(ATA)\sqrt{\det(A^TA)} является объемным / объемным коэффициентом?

Позволять$A$быть рассматриваемой матрицей, написав$D(A) = \sqrt{\det(A^T A)}$и$V(A)$для желаемого$n$-объем; мы хотим это увидеть$D(A) = V(A)$. Заметим, что утверждение легко, если$m < n$, начиная с ранга$A^T A$ограничен сверху минимумом ранга$A$и ранг$A^T$, поэтому мы предполагаем$m \ge n$.

Выберите ортогональные матрицы$P$и$Q$размеров$m \times m$и$n \times n$. Сейчас

$$D(PAQ) = \sqrt{\det((PAQ)^T (PAQ))} = \sqrt{\det(Q^T A^TA Q)} = \sqrt{\det(A^T A)} = D(A).$$ Я утверждаю, что $V(PA) = V(A)$. Действительно, напишите $$A = (v_1 \; v_2 \; \dots \; v_n)$$ где $v_i$являются столбцами. Теперь можно выбрать $v_i$для $n+1 \le i \le m$таким образом, что $V(A) = |\det (v_1 \; v_2 \; \dots \; v_m)|$; на самом деле брать $v_{n+1}$иметь единичную длину и быть ортогональным пролету колонн $A$, а затем повторить. Теперь, так как $P$сохраняет внутренние продукты (и нормы), $$V(A) = \left |\det (v_1 \; v_2 \; \dots \; v_m)\right| = \left|\det (Pv_1 \; Pv_2 \; \dots \; Pv_m)\right| = V(Pv_1 \; Pv_2 \; \dots \; Pv_n) = V(PA).$$ Теперь пиши $A = URW$с использованием $SVD$, где $U, W$ортогональны и $R$представляет собой прямоугольную диагональ с неотрицательными элементами. Затем $$V(A) = V(U^T A) = V(RW) = V(R).$$ Последнее равенство следует из того, что $V(W) = 1$, и если диагональные элементы $R$являются $d_1, \dots, d_n$, то векторы-столбцы $RW$являются $d_1$раз дольше, чем $W$в 1-м измерении, $d_2$раз больше во 2-м измерении и т. д. Таким образом, $V(A) = V(R) = D(R) = D(URW) = D(A)$, где $V(R) = D(R)$сводится к проверке заявления на $n$-ячейки с ребрами в осях.

Подобно аксиоматическому определению определителя, вы можете проверить, что предоставленная формула удовлетворяет линейной однородности (для положительного масштабирования каждого столбца, поскольку в отличие от определителя он дает нам неориентированный объем) сдвиговой инвариантности (добавление одного столбца к другому не изменить объем) и нормируется (гиперкубы имеют объем 1).

В большинстве учебников по линейной алгебре показано, что этих свойств достаточно для определения уникальной функции, которая затем должна быть (не)ориентированным объемом, поскольку (не)ориентированный объем безусловно удовлетворяет всем приведенным выше аксиомам.

Немного поздно, но я обдумал эту идею и хочу поделиться своими выводами. То, что следует далее, не очень формально, но я думаю, что это хорошо для визуализации. Пожалуйста, дайте мне знать, если есть ошибка.

В$\mathbb{R}^m$у нас есть естественный базис, канонический, и у нас есть естественная форма объема, классический определитель. В самом деле, мы можем думать, что выбор этого базиса приводит к внутреннему продукту или скалярному произведению (путем установления этого базиса как ортонормированного), ассоциированная форма объема которого является определителем. То есть определитель измеряет тот же объем на параллелепипедах, который мы получили бы, измеряя ребра и углы со скалярным произведением. Таким образом, форма объема определяется не базисом, а классом базиса с тем же ассоциированным скалярным произведением (один базис может быть получен из другого ортогональным преобразованием).

Но мы также хотим вычислить «промежуточные объемы»: длины, площади, 3-объемы,... вплоть до$m$-объем, и это можно сделать с помощью внутреннего произведения (классического скалярного произведения). Но есть формула для их прямого вычисления. Если$A$это матрица, столбцы которой являются$n$векторы$v_1,\ldots,v_n \in \mathbb{R}^m$чей$n$-volume нужно вычислить, тогда$n$-объем

$$D(A):=\sqrt{\det(A^T A)}.$$

Заметим, что эта формула включает в качестве частных случаев 1-объем или «длину», а$m$-объем (определитель квадратной матрицы).

Для доказательства этой формулы можно считать, что$n$векторы$v_1,\ldots,v_n \in \mathbb{R}^m$линейно независимы (если нет, то их$n$-volume будет равен нулю) и искать ортогональное преобразование$T$из$\mathbb{R}^m$(с матрицей$U$в каноническом базисе), который посылает$n$-мерное подпространство, натянутое ими на$span(e_1,\ldots,e_n)$существование$\{e_i\}$каноническая основа$\mathbb{R}^m$. Поскольку преобразование ортогональное,$n$-объем должен быть одинаковым, т.е.

$$Vol(A)=Vol(UA).$$ Но этот объем, т.к. находится "внутри"$\mathbb{R}^n\subset \mathbb{R}^m$можно вычислить классически как $$\det(trunc(UA))$$ где$trunc$означает выбор первого$n$строки (остальные нулевые).

И, наконец, обратите внимание, что

$$\det(trunc(UA))=\sqrt{\det(trunc(UA)^Ttrunc(UA))}=$$ $$=\sqrt{\det((UA)^T UA)}=\sqrt{\det(A^T A)}$$ поскольку усеченная часть представляет собой матрицу с нулевым блоком и поскольку$U^T U=Id$.

Так$Vol(A)=\sqrt{\det(A^T A)}$.

Разная метрика .

Я начал с другого внутреннего продукта$\langle-,-\rangle$(или с другим базисом, не соответствующим ортогональному преобразованию канонического), я думаю, что формула будет примерно такой же:

$$Vol(A)=\sqrt{\det(A^T G A)}$$ где$G$— матрица внутреннего продукта, т. е.$G=(g_{ij})$с$g_{ij}=\langle e_i, e_j \rangle$.