Геометрия нулевых гиперповерхностей

В разделе 9.2 Уолда на странице 221 он говорит, что

Мы обращаем наше внимание; теперь, чтобы обнулить геодезические конгруэнтности. Опять же, мы параметризуем геодезические аффинным параметром$\lambda$, но , в отличие от времениподобного случая, теперь у нас нет естественного способа нормализовать касательное поле$K^\alpha$тем самым регулируя масштаб$\lambda$на разных геодезических. Во времяподобном случае мы ограничились рассмотрением векторов отклонений$\eta^\alpha$ортогональный к$\xi^\alpha$. На самом деле для этого было две независимых (хотя и взаимосвязанных) причины. (1) У нас есть$\xi^\alpha \nabla_\alpha (\xi_\beta \eta^\beta)=0$предоставил$\xi^\alpha \xi_\alpha$нормируется, чтобы быть постоянным. Таким образом,$\xi_\alpha \eta^\alpha$постоянна вдоль каждой геодезической, а поведение «неортогональной» части$\eta^\alpha$неинтересно. (2) Векторы отклонения, отличающиеся только кратным$\xi^\alpha$представляют собой смещение к той же ближайшей геодезической. Ортогональность фиксирует естественное «калибровочное условие» на$\eta^\alpha$.

В случае нулевой геодезической конгруэнтности указанные выше причины ограничения выбора вектора отклонения все еще действуют, но теперь они приводят к двум независимым ограничениям. Во-первых, для любого вектора отклонения$\eta^\alpha$, у нас опять$k^\alpha \nabla_\alpha (k_\beta \eta^\beta)=0$, так$k^\alpha \eta_\alpha$не меняется вдоль каждой геодезической. Отсюда следует, что произвольный вектор отклонения$\eta^\alpha$можно записать в виде суммы вектора, не ортогонального$k^\alpha$который распространяется параллельно геодезической плюс вектор, перпендикулярный$k^\alpha$.(Обратите внимание, однако, что не существует естественного, уникального способа разложения$\eta^\alpha$таким образом.) Таким образом, поведение «неортогональной» части$\eta^\alpha$снова неинтересно, и мы можем ограничиться рассмотрением векторов отклонений, удовлетворяющих$\eta^\alpha k_\alpha=0$. Во-вторых, векторы отклонений, отличающиеся лишь кратно$k^\alpha$снова представляют собой смещение к той же ближайшей геодезической. Таким образом, физически интересная величина — это действительно класс эквивалентности векторов отклонений, где два вектора отклонений считаются эквивалентными, если их разность кратна$k^\alpha$.С$k^\alpha$является нулевым и, следовательно, ортогонален самому себе, это второе ограничение не зависит от первого ограничения и сводит физически интересный класс векторов отклонения к двумерному подпространству.

1. Я не могу понять вторую причину в времениподобном и нулевом случае, т.е. что он имеет в виду, что векторы отклонения, которые отличаются кратно$\xi^\alpha$во времени или$k^\alpha$для нулевого случая будет представлять собой смещение к той же ближайшей геодезической?

2. Как в нулевом случае это рассуждение сводит векторы отклонений к двумерному подпространству?