Сохраняющееся количество по геодезической и метрической

Я изучаю общую теорию относительности по книге Шютца. В главе 7 он говорит о сохраняющихся величинах вдоль геодезических с помощью уравнения

м д п β д λ "=" 1 2 г ν α , β п ν п α
и он заключает, что «если все компоненты метрики независимы от Икс β для некоторого индекса β затем п β является константой вдоль траектории любой частицы».

Например, в известной метрике Шварцшильда п 0 сохраняется, так как метрика не зависит от т . Но я мог бы выполнить изменение координат, чтобы сделать метрику «зависимой от времени». Означает ли это, что концепция сохраняющихся величин вдоль геодезических зависит от координат? Существует ли предпочтительная система отсчета, в которой эта величина сохраняется?

Редактировать

Я, вероятно, запутался в концепции системы отсчета и системы координат. Я попытаюсь указать источник моего замешательства. Шюц говорит, что с метрикой Шварцшильда

д с 2 "=" − е 2 Φ ( р ) д т 2 + е 2 Λ ( р ) д р 2 + р 2 д Ом 2
"поскольку метрика не зависит от т любая частица, которая следует за геодезической, имеет постоянную составляющую импульса п 0 ≡ − Е ". Затем он утверждает, что "локальный инерциальный наблюдатель, покоящийся (моментально) на любом радиусе р пространства-времени измеряет другую энергию, а именно Е * "=" Е е − Φ ".

Что это означает? Означает ли это, что когда наблюдатель, покоящийся в некоторой точке пространства-времени, измеряет величину, я должен использовать локально Минковскую систему координат (касательное пространство точки P наблюдателя на Многообразии), и в этой системе координат метрика равна не зависит от времени, так как он видит, что эта величина изменяется в зависимости от точки пространства-времени, из которой он измеряет эту величину? (Действительно, Φ является функцией р ). Увидит ли когда-нибудь наблюдатель сохранение этой величины при ее измерении или это просто математическая конструкция?

Обратите внимание, что если вы делаете преобразование координат, то компонент п 0 также изменится, и этот измененный компонент не сохранится.
Есть независимый от координат способ сформулировать все это, а именно: мы получаем сохраняющуюся величину, если пространство-время имеет вектор Киллинга, определяемый (независимым от координат) уравнением Киллинга. Существует ли предпочтительная система отсчета, в которой эта величина сохраняется? В качестве примечания, системы координат не являются системами отсчета, а системы отсчета не являются системами координат. У нас нет систем отсчета в ОТО, кроме локальных.
Спасибо за оба ваших комментария, я отредактировал свой вопрос, чтобы лучше указать источник моей путаницы.

Ответы (1)

Означает ли это, что когда наблюдатель, покоящийся в некоторой точке пространства-времени, измеряет величину, я должен использовать локально Минковскую систему координат (касательное пространство точки P наблюдателя на Многообразии), и в этой системе координат метрика равна не зависит от времени, так как он видит, что эта величина изменяется в зависимости от точки пространства-времени, из которой он измеряет эту величину?

Я не читал Шютца, но, судя по вашему вопросу, в его изложении этой темы есть некоторые недостатки, и ваше замешательство может быть естественным, учитывая эти недостатки. Он обсуждает это в терминах (нековариантной) производной метрики по координате, что сразу создает серьезные проблемы. Это количество просто не поддается измерению. Если вы хотите измерить метрику или ее производные, вы столкнетесь со следующими ограничениями:

  • Локальный наблюдатель не может измерить метрику. (По той же причине нельзя измерить абсолютную потенциальную энергию. Метрика играет в ОТО роль, аналогичную роли потенциала в ньютоновской гравитации.)

  • Локальный наблюдатель не может измерить производную метрики. (Эта производная в основном будет гравитационным полем, которое невозможно измерить из-за принципа эквивалентности.)

  • Местный наблюдатель может измерить вторую производную метрики, которая по сути является мерой приливных напряжений.

Таким образом, в представлении Шюца используется производная, не имеющая физической интерпретации.

Да, всякий раз, когда любой наблюдатель измеряет векторную величину (например, вектор энергии-импульса), он неявно делает это в некоторой локальной системе Минковского. (Они могли бы, например, измерить скалярное произведение вектора с каким-то другим вектором, но тогда они эффективно используют этот другой вектор в качестве координатной оси некоторой системы Минковского.)

Увидит ли когда-нибудь наблюдатель сохранение этой величины при ее измерении или это просто математическая конструкция?

Чтобы проверить этот закон сохранения, наблюдатель должен иметь глобальную информацию, а не только локальную информацию. В основном им нужно измерить количество Е * в локальной статической системе отсчета, а затем использовать свои глобальные знания (о метрике и их положении в пространстве-времени), чтобы определить Е . Затем они могут убедиться, что Е сохраняется.

Неспособность определить такой закон сохранения на основе чисто локальной информации встроена в структуру ОТО. Энергия-импульс — это вектор, и вы не можете сравнивать векторы в разных точках пространства-времени, кроме как посредством параллельного переноса. Вы, конечно, можете проверить, что вектор энергии-импульса пробной частицы сохраняется при параллельном переносе вдоль ее собственной геодезической движения, но в итоге вы получите тривиальность, которая, по сути, состоит в том, что пробная частица имела то же движение свободного падения, что и вы. Это всего лишь проверка принципа эквивалентности, и он выполняется даже в пространстве-времени, не имеющем никакой симметрии.

Чтобы решить проблемы, о которых вы говорите, более удовлетворительным образом, чем в презентации Шютца, вам действительно нужно использовать понятие вектора Киллинга.

Сохраняющееся количество по геодезической и метрической
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v