Уравнение движения фотона в заданной метрике

Если ваше решение не является нулевой геодезической, то оно неверно для безмассовой частицы.

Причина, по которой вы заблуждаетесь, заключается в том, что лагранжиан, который вы приводите в (1), неверен для безмассовых частиц. Общее действие для частицы (массивной или безмассовой):

$$S = -\frac{1}{2} \int \mathrm{d}\xi\ \left( \sigma(\xi) \left(\frac{\mathrm{d}X}{\mathrm{d}\xi}\right)^2 + \frac{m^2}{\sigma(\xi)}\right),$$

куда$\xi$является произвольным параметром мировой линии и$\sigma(\xi)$вспомогательная переменная, которая должна быть устранена его уравнением движения. Также обратите внимание на обозначение

$$\left(\frac{\mathrm{d}X}{\mathrm{d}\xi}\right)^2\equiv \pm g_{\mu\nu} \frac{\mathrm{d}X^\mu}{\mathrm{d}\xi}\frac{\mathrm{d}X^\nu}{\mathrm{d}\xi},$$

по модулю вашего соглашения о метрическом знаке (я не проверял, какое из них подходит для вашего соглашения). Проверьте это для$m\neq 0$это действие сводится к обычному действию для массивной частицы. Однако для безмассового случая вы получаете

$$S = -\frac{1}{2} \int \mathrm{d}\xi\ \sigma(\xi) \left(\frac{\mathrm{d}X}{\mathrm{d}\xi}\right)^2.$$

Уравнение движения для$\sigma$дает ограничение

$$\left(\frac{\mathrm{d}X}{\mathrm{d}\xi}\right)^2 = 0,$$

для нулевой геодезической. Как вы знаете, это необходимо и закономерно для безмассовых частиц.

Уравнение движения для$X^\mu$is ( РЕДАКТИРОВАТЬ : К сожалению, я забыл термин здесь. Обратите внимание, что$g_{\mu\nu}$зависит от$X$поэтому термин, включающий$\partial_\rho g_{\mu\nu}$приходит в вариант. Попробуйте разобраться сами. Я исправлю следующие уравнения позже):

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\xi}\left(\sigma g_{\mu\nu}\frac{\mathrm{d}X^{\mu}}{\mathrm{d}\xi}\right)=0,$$

но вы можете изменить параметр$\xi\to\lambda$чтобы$\sigma \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\xi} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda}$, поэтому уравнение движения упрощается до

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda}\left(g_{\mu\nu}\frac{\mathrm{d}X^{\mu}}{\mathrm{d}\lambda}\right)=0,$$

который вы должны решить, чтобы получить что-то, удовлетворяющее нулевому ограничению.

I) Ну, в измерениях 1+1 световой конус (базирующийся в какой-то точке) — это всего лишь две пересекающиеся кривые, которые точно определяются условием

$$\tag{1} g_{\mu\nu}\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}~=~0,$$

и начальное состояние см. Второй метод ОП. Однако это уравнение (1) не будет определять светоподобные геодезические в более высоких измерениях.

II) первый метод ОП, а именно варьирование лагранжиана

$$\tag{2} L~:=~ g_{\mu\nu}(x)\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}$$

в принципе тоже правильно. Это хорошее упражнение, чтобы показать, что уравнения Эйлера-Лагранжа являются уравнением геодезических . Однако кажется, что OP ошибочно идентифицирует параметр$\lambda$геодезической с$x^0$-координата. Это две разные вещи! В измерениях 1+1 у нас есть две координаты$x^0$а также$x^1$. Имеются два уравнения Эйлера-Лагранжа. Комплексное решение для$\lambda\mapsto x^0(\lambda)$а также$\lambda\mapsto x^1(\lambda)$будут все геодезические: времяподобные, светоподобные и пространственноподобные.

Поскольку нас интересуют только светоподобные геодезические, нам также пришлось бы наложить уравнение. (1) в методе Эйлера-Лагранжа.

III) Если сделать преобразование координат

$$\tag{3} u~=~\exp(-\frac{x^0}{2})\quad\text{and}\quad v~=~\frac{x^1}{2},$$

тогда метрика ОП становится

$$\tag{4} \frac{4}{u^2}(-du^2+dv^2)$$

что, например, также рассматривается в этом посте Phys.SE (до общего постоянного коэффициента). Очевидно, светоподобные геодезические имеют вид

$$\tag{5} v-v_0~=~ \pm (u-u_0).$$

Есть элегантный способ сделать это с помощью симметрий.

Обратите внимание, что эта метрика инвариантна к пространственному перемещению, поэтому она имеет вектор уничтожения.$\partial_x$. Существует соответствующая сохраняющаяся величина$c_x$вдоль геодезических$x^\mu(\lambda)$данный

$$\begin{align} c_x = g_{\mu\nu}\dot x^\mu(\partial_x)^\nu = e^t\dot x \end{align}$$ Где точка означает дифференцирование по аффинному параметру. С другой стороны, тот факт, что искомая геодезическая является (нулевой) фотонной геодезической, вдоль которой $ds^2 = 0$дает $$\begin{align} 0=-\dot t^2 + e^t\dot x^2 \end{align}$$ Это формирует набор связанных дифференциальных уравнений, которые на самом деле не так сложно решить. Подсказка: попробуйте решить первое уравнение для $\dot x$, а затем подставить во второе уравнение.