Идеально фокусирующая преломляющая поверхность

Прочитав лекцию Фейнмана по физике, в разделе геометрической оптики он сказал, что кривая, которая идеально фокусирует все лучи, идущие от точки к другой фиксированной точке за пределами преломляющей поверхности, является сложной кривой четвертой степени, которая на самом деле является геометрическим местом всех точек с его расстояние О п с одной точки, О плюс расстояние О 1 п , с другой точки о 1 раз число н (показатель преломления материала за пределами преломляющей поверхности) является константой, не зависящей от точки п на кривой.

Но я не знаю, как вывести эту кривую, или, по сути, как даже начать. Буду очень признателен за любой вывод (простой предпочтительнее). Ниже приведен отрывок из лекций Фейнмана, на который я ссылался в своем вопросе.введите описание изображения здесь

введите описание изображения здесь

Было бы полезно, если бы вы могли пояснить свой вопрос диаграммой.
я отредактировал вопрос, включив в него отрывок и диаграмму

Ответы (1)

Давайте попробуем трудным путем без аргументов Фейнмана. Просто закон Снелла.

Мы можем выбрать рамку ( Икс , г ) где г находится рядом О О ′ и О Я сидел ( 0 , 0 ) . Предположим, что уравнение кривой записывается г "=" ф ( Икс ) где ( Икс , г ) это расположение точки п . Вектор нормали к кривой в точке п можно написать Н → "=" ( 1 , − 1 / ф ′ ( Икс ) ) . Теперь, зная закон Снелла, можно написать грех ⁡ θ "=" н грех ⁡ θ ′ , и перепишите его с векторными произведениями как

О п → × Н → О п Н "=" − н О ′ п → × Н → О ′ п Н
где Н можно исключить в знаменателе.

Выразив все члены как функцию Икс и г "=" ф ( Икс ) , можно получить дифференциальное уравнение на ф ( Икс ) .

[ Икс + ф ( Икс ) ф ′ ( Икс ) ] ( Икс ′ − Икс ) 2 + ( г ′ − ф ( Икс ) ) 2 + н [ ( Икс ′ − Икс ) + ( г ′ − ф ( Икс ) ) ф ′ ( Икс ) ] Икс 2 + ф ( Икс ) 2 "=" 0

Это кажется действительно трудным решением, если нет какого-то умного исчисления.

На самом деле, аргумент Фейнмана о том, что свет должен преодолевать это расстояние за одно и то же время, независимо от траектории, очень умный. В этом нет абсолютной необходимости, но это упрощает проблему: О п + н О ′ п "=" с с т е "=" С . Это переводится в

Икс 2 + г 2 + н ( Икс ′ − Икс ) 2 + ( г ′ − г ) 2 "=" С
которое можно переписать как уравнение четвертого порядка.

Этого достаточно. если не отлично. Но аналитический метод, упомянутый Фейнманом, до сих пор ускользает от меня... есть какая-нибудь зацепка?
Что ж, аналитический метод — последнее уравнение в моем ответе. Вам нужно сделать немного больше вычислений, чтобы оно выглядело как уравнение четвертого порядка. Для этого начните с Икс 2 + г 2 − С "=" − н ( Икс ′ − Икс ) 2 + ( г ′ − г ) 2 и возведите его в степень 2. Затем вы немного переставляете, берете другую степень 2, и вы получаете свое уравнение.
Все в порядке, я думал, что может быть метод, не основанный на исчислении или основанный на чисто элементарной геометрии, называемый «аналитическим». Но я получил ответ, и это также служит цели.
Извините, что спрашиваю так поздно, но это постоянная С произвольный?
Он не является полностью произвольным, поскольку представляет собой длину оптического пути , проходимого лучами. Можно взять частный случай луча, идущего прямо из О к О ′ , такой, что п включен О О ′ . Это ограничивает С : не может быть меньше О О ′ и не может быть больше, чем н О О ′ .
Идеально фокусирующая преломляющая поверхность
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v