Имеет ли координатное время физический смысл?

Собственное время представляет собой физическое старение массивной частицы, и поэтому это единственное время, которое необходимо учитывать при физическом описании частицы.

Но координатное время не лишено физического смысла: без координатного времени не было бы обнаружения событий . Когда две частицы путешествуют через одно и то же место в пространстве, их собственное время не даст информации, если это произошло одновременно, т. е. что они столкнулись, т. е. произошло событие. Для получения этой информации вам нужна диаграмма Минковского по крайней мере одной из обеих частиц, и, кстати, диаграмма Минковского любого наблюдателя включает координаты обеих частиц, предоставляя информацию о том, столкнулись они или нет.

Диаграммы Минковского показывают координатное время всех частиц (с разной одновременностью). Напротив, невозможно представить собственное время двух разных кадров на одной диаграмме.

Координатное время — это просто параметризация, только собственное время является физическим.

Однако для каждой времениподобной кривой (не обязательно геодезической) можно выбрать такой набор координат, что собственное время равно координатному времени ( доказательство ). Они называются сопутствующими координатами и часто используются в космологии.

Координата времени в сопутствующей системе отсчета является физической по определению, потому что она соответствует собственному времени наблюдателя. Когда мы указываем возраст Вселенной, мы в точности используем сопутствующее время наблюдателя, путешествующего вместе с расширением после Большого Взрыва.

Запутанное утверждение, которое вы цитируете из Википедии, является продуктом плохого соглашения об именах. Если мы определим барицентрическую систему отсчета как сопутствующую системе отсчета с солнцем, то координатное время — это точно время, измеренное на часах на солнце.

По неизвестным мне причинам астрономы по-разному определяют барицентрическую систему отсчета, возможно, потому, что это упрощает вычисления! Но пока существует стандарт, с которым согласны все, выбор рамы не имеет особого значения.

Наконец, я думаю, что ваши конспекты лекций вводят в заблуждение. Возьмем ваш пример с гравитационным красным смещением. Весь смысл общей теории относительности в том, что$d\tau_1\neq d\tau_2$когда смотришь на одно и то же событие с разных кадров! Законы физики в каждом кадре должны быть одинаковыми, но измерения собственного времени могут различаться, потому что они являются воплощением вашей точки зрения.

Вот конкретный пример ( ссылка ). Рассмотрим атомный переход вблизи черной дыры. Наблюдатель$A$покоится относительно атома, бесконечно далеко от черной дыры и измеряет$d\tau_A$. Наблюдатель$B$идет вместе с атомом и измеряет$d\tau_B$.

Чтобы произвести расчет, мы должны выбрать некоторую систему координат. Давайте выберем координаты Шварцшильда, которые определены как сопутствующие координаты наблюдателя на бесконечности. Поэтому у нас есть

Поскольку наблюдать$A$покоится относительно атома,$dx^i$должен быть равен нулю для наблюдателя$B$. Следовательно, используя метрику Шварцшильда в координатах Шварцшильда

где$r_s$- радиус Шварцшильда, а$r$расстояние атома от центра черной дыры. Мы сразу видим, что

что соответствует красному смещению частоты, когда излучаемый фотон движется наружу против гравитационного поля.

[...] значение слова «$t$", который проявляется в пространственно-временных интервалах или метриках общей теории относительности. Я пришел к выводу, что$t$была просто математической вещью, позволяющей обозначить «многообразие пространства-времени»

Прежде всего, координаты просто обеспечивают четкую («один к одному») маркировку элементов данного набора.$\mathcal S$по элементам$\mathbb R^n$(т.е. по$n$-наборы действительных чисел для некоторого подходящего натурального числа$n$); и, в частности, отдельных событий (т. е. определенного « пространственно -временного » набора$\mathcal S$на рассмотрении). Формально назначение координат — это (просто) карта:

$c~:~ \mathcal S ~ \rightarrow ~ \mathbb R^n$.

В зависимости от дальнейших отношений между элементами множества$\mathcal S$(геометрические отношения между рассматриваемыми событиями) могут быть дополнительные требования к заданиям координат:

• если элементы (или подмножества) множества$\mathcal S$могут быть идентифицированы, которые упорядочены (как последовательность ), затем заданное присвоение координат$c$может быть или не быть монотонным в одном или нескольких компонентах координатного кортежа по отношению к «очевидному порядку действительных чисел» ;

• если подмножества множества$\mathcal S$можно определить, которые составляют топологическое пространство$T$затем заданное задание координат$c$может быть или не быть совместимым с$T$в смысле гомеоморфизма по отношению к «очевидной топологии вещественных$n$-кортежей" . Таким образом, пара "$(~\mathcal S, T~)$"может быть многообразием , а может и не быть ; и если да, то данное задание координат$c$может быть, а может и не быть непрерывным .

• если существует (подходящим образом обобщенная) метрика$s$доступно для набора$\mathcal S$затем заданное задание координат$c$может быть или не быть совместимым в смысле$s$быть дифференцируемым или даже аффинным отдельно для любого компонента координатного кортежа (например, для "$t$", для "$r$", или для"$\phi$и т. д .) по отношению к «очевидной метрике действительных чисел» .

В ОТО координаты присваиваются событиям (в общем случае) дифференцируемым или даже гладким относительно . (данные) пространственно-временные интервалы$s^2$; внутри любого достаточно "маленького" координатного участка.

Кроме того, название «$t$" обычно дается не какой-либо компоненте координатного кортежа, а (только, если применимо) той, которая монотонна по отношению к последовательности элементов времениподобных кривых и монотонна по отношению к последовательности пространственноподобных гиперповерхностей, и даже аффинны по длительности$\tau A_{\circ P}^{\circ Q} \equiv \sqrt{-s^2[~\varepsilon_{AP}, \varepsilon_{AQ}~]}$подходящих участников$A$(но, что важно, для этого не аффинны в совокупности к длительности каждого и любого участника).

1) $\frac{dt}{d\tau} = \gamma.$Если$t$не является физическим [...]

Ну, в контексте, в котором это уравнение получено,$t$это не просто любое (произвольное, однозначное, но иначе « нефизическое ») задание координат. В более явном и подходящем обозначении уравнение выглядит как

где

• $P$и$Q$обозначают двух подходящих участников, находящихся в состоянии покоя друг к другу
• "$P_{\circ A}$"обозначает участника$P$указание на то, что он был встречен и пропущен участником$A$, и
• "$P^{\circledS Q \circ A}$"обозначает участника$P$индикация одновременно с участником$Q$указание на то, что он был встречен и пропущен участником$A$.

2) Рассмотрим атомный переход на поверхности земли, при [...]. Интервал времени

...скажем: продолжительность любого одного периода колебаний...

измеряется неподвижным наблюдателем вблизи атома:$d\tau_1 = [...]$

... где, конечно, совершенно неважно для продолжительности любого одного периода колебаний рассматриваемого атома (на поверхности земли), может ли он и как быть помечен координатами.

Представьте теперь тот же атомный переход, но, скажем, на высоте 100 км над поверхностью земли на [...]. Интервал времени [длительность периода колебаний], измеренный наблюдателем вблизи атома, равен:$d\tau_2 = [...]$.

Поскольку физика атомных переходов одинакова [для этих двух отдельных атомов], то должно быть:$d\tau_1 = d\tau_2$.

Правильно: это то, что мы подразумеваем под равными длительностями периодов колебаний этих двух атомов ; или для краткости: эти два атома равны
(с точки зрения меры, которая здесь наиболее уместна, и/или, конечно, независимо от какого-либо конкретного обсыпания этих атомов координатными метками).

Но каков физический смысл величины$\frac{dx^0_1}{dx^0_1} = \frac{\sqrt{g_{00}(x_2)}}{\sqrt{g_{00}(x_1)}}$?

Поскольку
- длительности периодов колебаний двух атомов по отдельности постоянны и - координаты заданы так, что оба$g_{00}(x_1)$и$g_{00}(x_2)$константы

тогда « физический смысл » координат состоит в том, что они аффинны по отношению к длительности каждого из атомов соответственно.

Но дополнительный, заданный или измеримый факт, что$d\tau_1 = d\tau_2$не ограничивает дополнительно значение$\frac{\sqrt{g_{00}(x_2)}}{\sqrt{g_{00}(x_1)}}$.

По моему мнению, единственный способ вычислить гравитационное красное смещение — это сравнить правильный интервал, измеренный наблюдателем в$x_1$и один в$x_2$для атомного перехода, происходящего в$x_1$.

На мой взгляд, наиболее важным и актуальным хронометрическим сравнением является длительность пинга (см. мой ответ там: "Ускоряющийся поезд...", PSE/q/38377 ;
особенно для пар наблюдателей, чьи взаимные дуарионы пинга (отдельно) постоянны, т.е. которые «хронометрически негибки друг к другу».

Только в отношении неравной длительности пинга

• наблюдателя « на поверхности земли » (с момента подачи сигнала до тех пор, пока он не увидел, что спутник « на высоте 100 км над поверхностью земли » уловил этот сигнал), и

• наблюдателя «на высоте 100 км над поверхностью земли » (с момента подачи сигнала до момента, когда спутник « на поверхности земли » уловил этот сигнал),

могли ли они даже окончательно определить, что их отдельные атомы имели одинаковую продолжительность периода колебаний в рассматриваемом испытании (испытаниях).

В частности: количество периодов колебаний, подсчитанных « у поверхности земли » в течение одного «периода пинга (100 км вверх и обратно)»
, не равно количеству периодов колебаний, подсчитанных « 100 ». км над поверхностью земли » в течение одного «периода пинга (вниз и обратно)».

В общем, координаты, используемые для записи произвольной метрики, следует рассматривать как метки точек пространства-времени. Некоторые координаты могут быть связаны со знакомыми вещами, но некоторые не будут таковыми (по крайней мере, не простым способом), поэтому остерегайтесь пытаться найти в них слишком много знакомого.

Теперь давайте рассмотрим пространство-время Минковского и значение координаты$t$инерциального наблюдателя. Что значит$t$иметь в виду? ну, это просто время, указанное часами, которые по отношению к вам оказались неподвижными.

Теперь, если вы ожидаете, что это время, даваемое стационарными часами по отношению к вам, будет верным способом упорядочивать события повсюду в пространстве-времени, вы будете разочарованы, и легко понять, почему. Легко видеть, что два инерциальных наблюдателя могут не согласиться$\Delta{}t$из двух событий. Просто рассмотрите два любых события и, используя общее преобразование Лоренца и перейдя к другому кадру, вы увидите, что$\Delta{}t$может измениться. Если эти события пространственно-подобно разделены, разные наблюдатели могут даже расходиться во мнениях относительно знака$\Delta{}t$.

Итак, для одних наблюдателей это как если бы сначала произошло одно событие, а потом другое, а для других наблюдателей наоборот. Итак, какое событие произошло первым? ответ заключается в том, что этот вопрос действительно бессмысленен. Время УКАЗАНО местное. Время, даваемое часами, имеет смысл только для того, кто несет их в том месте, где он их несет. Именно в этом смысле относительность убивает концепцию абсолютного времени. Задавать любой вопрос со словом «пока» в нем действительно бессмысленно.

Координата Лоренца$t$, (а также остальные$x$,$y$,$z$) просто рассказать вам, как вы причинно связаны с остальными точками пространства-времени, как вам видится Вселенная, или, может быть, лучше сказать, как события в остальных точках пространства-времени могут повлиять на вас. Например, если для некоторого наблюдателя два события происходят одновременно ($\Delta{}t=0$) и пространственно одинаково удалены от наблюдателя, информация об обоих этих событиях (передаваемая, например, фотонами) будет достигать наблюдателя одновременно. Тем не менее, другой наблюдатель Лоренца узнает об одном раньше другого (и, как утверждалось выше, разные наблюдатели Лоренца могут даже не согласиться с тем, какой из них прибыл первым, даже если все эти наблюдатели находятся в одной и той же точке! (конечно, поскольку эти лоренцевые наблюдатели наблюдатели имеют разную скорость, они не будут стоять в одной и той же точке, ожидая сигнала, поэтому необходимо учитывать влияние движения)). Просто разные наблюдатели Лоренца по-разному причинно связаны с остальными событиями.

Теперь, если вы хотите сравнить прошедшее время для разных наблюдателей (или объектов или чего-то еще), которые однажды были вместе и воссоединились через некоторое время, вам просто нужно сравнить собственное время, то есть время, указанное часами, которые были с ними. Все время.

Собственное время — это время, измеряемое часами, движущимися по инерциальной траектории. Координатное время можно рассматривать как ось времени на пространственно-временной диаграмме; поэтому, например, координатное время можно рассматривать как время, измеренное внешним наблюдателем часов. Эти времена предназначены для сравнения, поскольку в теории относительности время течет с разной скоростью для разных инерционных путей. Если два объекта движутся совместно, то два времени равны. Надеюсь это поможет. Удачи!