ϕ4ϕ4\phi^{4} Пропагатор - Диаграмма Фейнмана: внутренняя вершина, которая зацикливается сама на себе

Чтобы определить$\phi ^4$безмассовой теории, вы не можете просто начать с лагранжиана

$$\mathscr L = \frac{1}{2}(\partial\phi)^2-\frac{g_0}{4!} \phi^4,$$ отделить кинетический член $\mathscr L _0= \frac{1}{2}(\partial\phi)^2$и сделать теорию возмущений вокруг $g _0=0$. Причина в том, что даже в низшем порядке теории возмущений $\phi^4$член приведет к расходящимся диаграммам, подобным той, которую вы только что вычислили, которые формально бесконечны. Для обработки таких диаграмм необходимо:

1. Ввести регулятор, вроде УФ-отсечки$\Lambda$в пропагандистах.
2. Наложить некоторые (в данном случае три) условия конечности на функции Грина.
3. Выразить все величины через (конечные) параметры, введенные на шаге 2.

Процедура будет работать, только если вы начнете с перенормируемого лагранжиана, например:

$$\mathscr L = \frac{1}{2}(\partial\phi)^2-\frac{m_0^2}{2}\phi^2-\frac{g_0}{4!} \phi^4.$$

Цель шага 1 состоит в том, чтобы понять расходящиеся величины, такие как$G_0(x-x)$. Простой способ, который работает для$\phi^4$теория представляет собой регуляризацию Паули-Вилларса:

$$\tilde G_0(p)=\frac{1}{p^2-m_0^2+i\varepsilon}\to \tilde G_0(p)_\Lambda = \frac{1}{p^2-m_0^2+\frac{(p^2)^2}{\Lambda^2}+\frac{(p^2)^3}{\Lambda^4}+i\varepsilon}.$$

На шаге 2 мы можем за один раз сделать теорию безмассовой и исключить рассчитанную вами расходящуюся диаграмму. Мы просто требуем, чтобы$^1$:

$$\tilde G(p^2=0)^{-1}=0.$$ Это гарантирует, что физическая масса частиц, описываемых теорией, равна нулю, и если вычислить пропагатор в первом порядке по $g_0$, вы также обнаружите, что постоянное значение дивергентной диаграммы точно компенсируется голой массой $m_0^2$.

---

$^1$Собственно, к первому заказу в$g_0$, этого условия достаточно для перенормировки теории.

Я только что попытался вычислить эту диаграмму в импульсном пространстве и думаю, что в безмассовом случае она дает нулевой вклад. В основном это потому, что в цикле вы получите интеграл, например

$$\int \frac{\mathrm d^4 k}{(2\pi)^4} \frac{\mathrm i}{k^2 - m^2 + \mathrm i \epsilon} \,,$$ где $m = 0$. Один профессор сказал, что этот интеграл даст ноль, потому что для $m = 0$, нет шкалы массы/энергии, которую мог бы исследовать этот петлевой интеграл. Помню, объяснение меня тогда не удовлетворило, лучшего у меня, к сожалению, сейчас нет.

Потом еще и с петлями, не редко те дают бесконечности. Это приведет к регуляризации и, в конечном итоге, к перенормализации, которая напоминает ящик Пандоры. Ваш интеграл, кажется, расходится, так как есть восемь степеней$u$в числителе (от меры интегрирования), но только шесть степеней в знаменателе (от функций Грина). Он может быть еще бесконечным. Затем вам нужно перейти в импульсное пространство и использовать размерную регуляризацию.

Я могу дать вам вывод этой диаграммы головастика в импульсном пространстве с размерной регуляризацией, которую я сделал пару лет назад в качестве домашнего задания в классе КТП, который я посещал. Вы можете скачать исходный и рецензированный PDF-файл, чтобы прочитать его полностью. Это отрывок:

Окончательный результат пропорционален$m$. Параметр$m = 0$заставит это, пока вещь исчезнет, ​​поэтому результат кажется равным нулю в безмассовой теории.