Инерциальная и неинерциальная рама

В классической механике инерциальная система по определению является системой отсчета, в которой действует закон инерции . Это физическое определение. Затем вы можете математически найти бесконечное количество систем отсчета, требуя, чтобы инерциальные системы отсчета были системами, которые движутся с постоянной скоростью по отношению к инерциальной. Итак, вы обнаружите, что система инерционна с помощью экспериментов, будь то реальные или мысленные эксперименты.

Этот вопрос рассматривается в книге «Гравитация» Мизнера, Торна и Уилера.

Пункт 12.3

Принципиальный вопрос: как можно сначала записать законы гравитации и свойства пространства-времени в галилеевых координатах (п. 12.1), а уже потом (здесь) разобраться с природой системы координат и ее неединственностью? Ответ: (цитата из п. 3.1, слегка измененная): «Здесь и повсюду в науке, как подчеркивал не в последнюю очередь Анри Пуанкаре, устарел тот взгляд, который говорил: «Определи свои термины, прежде чем двигаться дальше». Все законы и теории физики, включая законы тяготения Ньютона, имеют такой глубокий и тонкий характер, что они и определяют понятия, которые они используют (здесь галилеевские координаты), и делают утверждения об этих понятиях».

Обсуждение в разделе 3.1 книги идет следующим образом:

Все законы и теории физики, включая закон силы Лоренца, имеют такой глубокий и тонкий характер, что они и определяют понятия, которые они используют (здесь B и E), и делают заявления об этих понятиях. Наоборот, отсутствие какого-либо корпуса теории, закона и принципа лишает одного из средств для правильного определения или даже использования понятий.

Всякий шаг вперед в человеческом познании созидателен в том смысле, что теория, понятие, закон и метод измерения — навеки неразделимые — рождаются в мир в союзе.

Так вот: согласно МТЗ, и я считаю их точку зрения очень убедительной, всякая теория и закон служат как утверждениям о понятиях, так и операциональному определению этих понятий.

И да, внешне это похоже на круговое рассуждение.
Разница, конечно, в том, что как только мы добираемся до прикладной физики, у нас есть тест. Вы проектируете машину или процесс, и когда конструкция работает так, как предсказывают ваши физические законы, вы знаете, что стоите на твердой почве. Пример: мы запускаем зонды к другим планетам нашей Солнечной системы; их движение соответствует нашим физическим законам.

(Между прочим, возникает вопрос: как насчет дисциплины, которая не в состоянии применить ни одну из своих теорий в виде устройства или процесса? Да, я думаю, что в этой ситуации можно производить круговые рассуждения. )

Я считаю, что нет честного «математического» определения инерциальной системы отсчета. В жизни я слышал два определения:

1) A frame centered at Sun with axis pointing to distant objects in the Universe.

2) A frame where Newtonian laws are valid.

Я считаю, что второе - это определение в «круге»: в какой системе отсчета действуют законы Ньютона? В инерционном. Что такое инерционная система? Ну, тот, где действуют ньютоновские минимумы...

Первый не "математический". Тем не менее, мое личное предпочтение - первое, но я бы изменил его:

Инерциальная система отсчета - это система реликтового излучения или система, движущаяся к нему с постоянным вектором скорости...

Как математически определить инерциальную систему отсчета?

Определение инерции является физическим, а не математическим. Однако вы можете легко распознать и идентифицировать их математически.

Инерциальная система отсчета имеет метрику вида

Инерциальную систему отсчета можно определить как систему отсчета, в которой производная по времени базисных векторов относительно другой инерциальной системы постоянна.

Например, предположим, что инерциальная система отсчета O, если мы хотим знать, является ли O' инерциальной или нет, мы можем сказать, что O' с базисными векторами$<e'_1,e'_2,e'_3>$,

$d/dt<e'_1,e'_2,e'_3>=0$

Если инерциальная система О, измеряет это, то можно сказать, что система (О') является инерциальной. Если результат отличен от нуля, то O определенно неинерционна.

Утверждалось (в ответе @RenatoRenatoRenato), что инерциальная система отсчета - это та, в которой действует Закон инерции . Это эквивалентно утверждению, как также утверждалось (в ответе @Dale), что символы Кристоффеля исчезают повсюду.

У меня был профессор, который сказал: "Откуда вы знаете, что система отсчета инерциальна? Легко! Просто возьмите систему с простейшим набором сил!"

Хотя они, очевидно, не являются неверными, я боюсь, что они не отвечают на вопрос с практической точки зрения. Как утверждалось (в прекрасном ответе @Cleonis, а также @F.Jatpil), вы должны определить, что такое инерциальная система отсчета, прежде чем сформулировать первый закон, фактически, прежде чем сформулировать любой из законов механики, возможно, даже прежде чем констатировать любую физику!

Вы всегда должны измерять систему, чтобы знать, какие кадры являются инерционными, от этого никуда не деться. В конечном счете, физика, в отличие от математики, является естественной наукой, поэтому она основана на аспектах физического мира, которые мы используем в качестве основы для определения всего остального . Даже если мы когда-нибудь получим полное объяснение инерции, это объяснение, вероятно, будет зависеть от какой-то другой физической концепции, возможно, гораздо более глубокой, но трудно поверить, что она будет чисто математической по своей природе.

В качестве примечания, мне нравится идея @F.Jatpil, наблюдать реликтовое излучение, так как ускоренный кадр увидит это излучение «горячее», но даже тогда вы должны как-то его измерить. И обратите внимание, что этот метод все равно не будет работать в случае, если мы живем в ускоренной Вселенной.

Суть в следующем: вы не можете определить инерциальную систему отсчета из первых принципов, вам нужно оборудовать вашу координатную ось акселерометрами и гироскопами , с помощью которых вы измеряете собственное ускорение , и с помощью которых вы можете отличить его от чисто координатного ускорения.