Квантовая теория поля — это обширная тема, и она известна тем, что использует методы, требующие математического интереса. Например, работа с бесконечностями и их вычитание или использование интегралов по траекториям, которые вообще не имеют математического смысла (по крайней мере, пока) и т. д. Мой вопрос немного расплывчатый, но мне интересно узнать, каков статус строгости в QFT. Что известно как математически строгое и непротиворечивое, что известно как нестрогое? Любые примеры и ссылки приветствуются.
Добавлено: Просто чтобы уточнить, под строгим я имел в виду все, что математик сочтет удовлетворительным. Также мой вопрос не касался книг со строгим (в каком-то смысле) подходом, хотя это и приветствовалось. Речь шла о конкретных примерах того, что считается математически удовлетворительным, а что нет. Например, квантование свободных полей, удовлетворяющих уравнению Клейна-Гордона, может быть выполнено строго. Не существует математического определения общего интеграла Фейнмана по траекториям и так далее.
Ваше заявление
работа с бесконечностями и вычитание... которые вообще не имеют математического смысла
не совсем правильно, и, кажется, имеет общее недоразумение в нем. Технические трудности QFT не исходят из бесконечности. На самом деле идеи, в основном эквивалентные перенормировке и регуляризации, использовались с самого начала математики — см., например, многие статьи Коши, Эйлера, Римана и т. д. На самом деле, Г. Х. Харди опубликовал книгу по теме расходящихся рядов. :
http://www.amazon.com/Divergent-AMS-Chelsea-Publishing-Hardy/dp/0821826492
Существует даже целая ветвь математики, называемая «теорией интеграции» (подмножеством которой являются такие вещи, как интеграция по Лебегу), которая обобщает эти типы вопросов. Таким образом, появление бесконечностей вообще не проблема, в некотором смысле, они появляются из-за удобства.
Так что идея о том, что бесконечности имеют какое-то отношение к аксиоматичности КТП, неверна.
Реальная проблема, с более формальной точки зрения, заключается в том, что вы «хотите» построить КТП с помощью некоторого интеграла по путям. Но интеграл по путям формально (т.е. для математиков) является интегралом (в общем смысле, который появляется в таких темах, как «теория интеграции») по довольно патологически выглядящему бесконечномерному функциональному пространству LCSC.
Попытка определить разумную меру в бесконечномерном функциональном пространстве проблематична (и общие свойства этих пространств, похоже, не очень хорошо изучены). Вы сталкиваетесь с такими проблемами, как то, что все разумные множества «слишком малы», чтобы иметь меру, беспокойство о мерах патологических множеств и беспокойство о том, какими свойствами должна обладать ваша мера, беспокойство о том, « "срок вообще даже мера и т. д...
В лучшем случае, пытаясь решить эту проблему, вы столкнетесь с проблемой, подобной той, с которой вы столкнулись в определении интеграла Лебега, где он определяет интеграл, и вы строите некоторые математически интересные свойства, но большая часть его полезности заключается в том, что вы можете злоупотреблять интегралом Римана. интегрированы так, как вы хотели. На самом деле вычисление интегралов по определению интеграла Лебега, как правило, непросто. На самом деле этого недостаточно, чтобы привлечь внимание слишком многих физиков, поскольку у нас уже есть работающее определение, и знать все его формальные свойства было бы неплохо и, конечно, сообщило бы нам некоторые удивительные вещи, но неясно, что это такое. было бы все, что полезно в целом.
С алгебраической точки зрения, я полагаю, вы столкнетесь с трудностями при попытке определить расходящиеся произведения операторов, которые зависят от схемы перенормировки, поэтому вам нужно иметь некоторое семейство -алгебры, учитывающие ренормализационную группу, текут правильным образом, но не похоже, чтобы люди пытались сделать это разумным образом.
С точки зрения физики нас это не волнует, потому что мы можем говорить о перенормировке и требовать, чтобы наши ответы обладали «физически разумными» свойствами. Вы можете сделать это и математически, но математики не заинтересованы в получении разумного ответа; им нужен набор «разумных аксиом», из которых следуют разумные ответы, поэтому они обречены столкнуться с техническими трудностями, как я упоминал выше.
Однако формально можно определить невзаимодействующие КТП и интегралы по траекториям квантовой механики. Вероятно, формальное определение КТП находится в пределах досягаемости того, что мы могли бы сделать, если бы действительно захотели, но это просто не интересная тема для людей, которые понимают, как перенормировка приводит решения к физически разумным (физикам), и формальные аспекты недостаточно хорошо изучены, чтобы можно было получить формализм «бесплатно».
Итак, у меня сложилось впечатление, что ни физики, ни математики, как правило, не заинтересованы в том, чтобы работать вместе над решением этой проблемы, и она не будет решена до тех пор, пока ее нельзя будет сделать «бесплатно» вследствие понимания других вещей.
Редактировать:
Я также должен вкратце добавить, что КТП и СКТП математически определены гораздо более тщательно, и поэтому разумной альтернативой классическим идеям, о которых я упоминал выше, могло бы быть начало с СКФП и определение общей теории поля как своего рода «небольшой» модификации. из этого, сделанного таким образом, чтобы сохранить только правильные вещи четко определенными.
Во-первых: не существует строгой конструкции стандартной модели, строгой в математическом смысле (и нет, нет большой амбивалентности в отношении значения строгости в математике).
Дэниел процитировал много ссылок, я попытаюсь их немного классифицировать :-)
Аксиоматическая (синоним: локальная или алгебраическая) КТП пытается сформулировать аксиомы для точки зрения Гейзенберга (состояния статичны, наблюдаемые динамически). Известны три набора аксиом:
Грубо говоря, аксиомы Вайтмана описывают, как поля соотносятся с наблюдаемыми, аксиомы Остервальдера-Шредера являются аксиомами Вайтмана для евклидовой теории поля, а аксиомы Хаага-Кастлера полностью уклоняются от поля и описывают наблюдаемые как таковые. Все три набора аксиом примерно эквивалентны, а это означает, что эквивалентность была доказана, иногда с дополнительными предположениями, которые физики считают неуместными.
«PCT, спин, статистика и все такое» было первым введением в аксиомы Вайтмана.
«Локальная квантовая физика: поля, частицы, алгебры» представляет собой введение в аксиомы Хаага-Кастлера, как и «Математическая теория квантовых полей».
«Пертурбативная квантовая электродинамика и аксиоматическая теория поля» представляет собой описание КЭД с точки зрения аксиом Хаага-Кастлера.
«Введение в алгебраическую и конструктивную квантовую теорию поля» посвящено квантованию заданных классических уравнений в духе Хаага-Кастлера.
«Квантовая физика: функциональная интегральная точка зрения» использует аксиомы Остервальдера-Шредера.
Двумерная конформная теория поля может быть аксиоматизирована, например, с помощью аксиом Остервальдера-Шредера.
Функториальная квантовая теория поля аксиоматизирует точку зрения Шредингера , см., например, hnLab по FQFT .
Сюда входят, например, топологические квантовые теории поля, которые описывают, по существу, теории с конечными степенями свободы. Эта ветвь оказала большое влияние на математику, особенно в отношении дифференциальной геометрии, а здесь — на теорию трехмерных и четырехмерных гладких многообразий. я бы поставил
Дэниел С. Фрид (автор), Карен К. Уленбек: «Геометрия и квантовая теория поля»
в этой категории.
«Геометрия и квантовая теория поля»
Квантование классических теорий поля : Обратите внимание, что аксиоматические подходы не зависят от классических теорий поля, которые необходимо квантовать, они открывают двери для прямого построения квантовых систем без классического зеркала. Лагранжев подход к КТП является примером анзаца, который начинается с классической теории поля, которую необходимо квантовать, для чего можно использовать различные средства.
Тиччиати: «Квантовая теория поля для математиков» на самом деле является вполне каноническим введением в лагранжеву КТП без особых церемоний.
Существует много материала о геометрии классических теорий поля и вариантах их квантования, таких как «геометрическое квантование».
Книга Велингтон де Мело, Эдсон де Фариа: «Математические аспекты квантовой теории поля» является примером этого.
Гораздо более продвинутым является «Квантовые поля и струны: курс для математиков (2 тома)».
Для интеграла по путям есть две точки зрения:
Интеграл по траекториям — наряду с правилами Фейнмана — представляет собой бухгалтерское устройство для игры под названием перенормировка, которое позволяет вам вычислять числа в соответствии с тайными правилами.
Интеграл по траекториям — это математическая конструкция, подобная «мере», но не мера в том смысле, в каком она известна сегодня, теория мер, которую необходимо открыть и определить соответствующим образом.
Насколько мне известно, со второй точкой зрения не было большого прогресса, но есть люди, работающие над ней, например, авторы книги «Математическая теория интегралов по траекториям Фейнмана: введение». Вы можете найти гораздо больше материалов по математической теории интегралов по путям на nLab здесь .
Вот мой ответ с точки зрения физики конденсированного состояния:
Квантовая теория поля — это теория, описывающая критическую точку и окрестности критической точки модели решетки. (Модели решетки имеют строгое определение).
Таким образом, чтобы строго определить квантовые теории поля, нужно найти их УФ-завершение.
Классифицировать квантовые теории поля — значит классифицировать все возможные критические точки решетчатых моделей, а это очень важный и очень сложный проект.
(Можно заменить «решетчатую модель» выше на «непертурбативно регулируемую модель»).
Есть несколько книг, которые подходят к КТП (и/или калибровочной теории) с разных уровней «математической строгости» (для некоторого определения «математической строгости», которое Моше одобрил бы ;-).
Итак, позвольте мне дать вам своего рода «предварительный список»… он далеко не полный и не в определенном порядке, но я думаю, что он может проложить путь для дальнейшей работы.
В любом случае… есть намного больше, не только с точки зрения тем (перенормировка и т. д.), но и с точки зрения статей, книг и т. д.
Таким образом, в КТП (и, если на то пошло, в теории струн) много «математической строгости», включая различные «уровни», которые должны удовлетворять самые разные вкусы.
PS: Здесь есть и другие темы, которые касаются этой темы в той или иной форме, например, Теорема Хаага и Практические вычисления QFT . Так что не стесняйтесь и осмотритесь. :-)
Репутация QFT в использовании методов, которые математически несостоятельны, в наши дни на самом деле не заслужена. Конечно, не все находится под идеальным аналитическим контролем, но на самом деле ситуация не намного хуже, чем в гидродинамике.
В частности, «вычитание бесконечностей» больше не считается проблемой. Математики, недавно исследовавшие ее (например, Борчердс и Костелло), в основном пришли к выводу, что эффективная теория поля Вильсона разрешает эти трудности. Вы можете производить все вычисления исключительно в терминах «эффективных» величин для больших расстояний, которые остаются позади, когда физики вычитают бесконечности. Таким образом, бесконечности на коротких расстояниях не представляют проблемы для определения корреляционных функций; нет ничего противоречивого в базовом формализме интеграла по путям.
Это действительно тот же вывод, к которому пришли теоретики конструктивного поля, изучая примеры более низких измерений в 70-х и 80-х годах.
Задача строгой КТП связана с инфракрасными расходимостями. Если ваше пространство-время имеет бесконечный объем, то ваша полевая система может иметь степени свободы сколь угодно большого размера. Связь с этими степенями свободы может дать вам бесконечность. Здесь есть настоящие математические проблемы, но они больше похожи на описание решений уравнения, чем на описание самого уравнения. (Могут происходить действительно нетривиальные вещи. В КХД, например, есть конфайнмент: многие из наблюдаемых, которые вы наивно ожидаете быть интегрируемыми относительно меры интеграла по траекториям, — например, наблюдаемая, представляющая свободный кварк или свободный глюона - нет. Вместо этого интегрируемые наблюдаемые представляют собой сложные смеси кварков и глюонов, таких как протоны, нейтроны и глюболы.) Большая часть тяжелой работы в Glimm & Jaffe, например, мера интеграла по траекториям, а от доказательства того, что ее -точечные корреляционные функции действительно существуют.
Естественно, это означает, что большинство вычислений наблюдаемых средних значений — как и в калибровочной теории решетки — не находятся под жестким аналитическим контролем. На данный момент конвергенция в моделировании в основном зависит от здравого смысла.
Чтобы сказать что-либо строго об этом, почти наверняка потребуется, чтобы математики лучше разобрались с перенормировкой в непертурбативных условиях (т. е. на решетке). Над этим активно работает большое количество математиков. Геометры и топологи углубляются в топологическую теорию поля, в то время как аналитики занимаются статистической теорией поля.
Я думаю, что все достаточно строго, когда вы делаете это в соответствии с математическими правилами.
Обман начинается, когда говорят: "Интеграл квадрата дельта-функции, хотя и выглядит как бесконечность, должен быть определен из экспериментальных данных". Это просто смешно.
Однажды я столкнулся с подобной бесконечностью в более простой, но точно решаемой задаче. Сначала я хотел провести перенормировки (определение значения интеграла из экспериментальных данных), но, к счастью, мне удалось выбрать лучшее начальное приближение и уменьшить пертурбативные поправки. Так что проблема в начальном приближении. Если оно хорошее , то пертурбативные поправки малы . В противном случае они большие.
Я также нашел объяснение, почему иногда работают вычитания (отбрасывание исправлений). С моей нынешней точки зрения, КТП нуждается в переформулировке, поскольку она плохо построена. Переформулированная QFT не нуждается в ремонте своих решений на ходу.
Я хотел бы отметить, что есть несколько разных проблем, возникающих с разных точек зрения на предмет. Было бы очень сложно прокомментировать их все, поэтому позвольте мне ограничиться одним конкретным.
В качестве первого замечания я должен заявить, что никто из тех, кто занимается математикой, не может сомневаться в том, что означает «строгий». Я не буду комментировать это, так как кажется, что это уже было объяснено в ясной форме.
Что касается вашего вопроса, я хотел бы заявить, что КТП - это не "уникальная" теория, а набор из нескольких разных теорий, которые более менее связаны друг с другом из-за некоторых внутренних описаний. Например, «поведение» и построение (действительной или комплексной) скалярной теории поля и калибровочной теории довольно различны. Это своего рода естественное следствие того факта, что Классическая Теория Поля (КлТП) (в какой-то мере вполне строгая, хотя и содержащая ряд нетривиальных проблем) также представляет собой совокупность нескольких различных теорий, объединенных общим геометрическим принципом. описание, но которые имеют свои особые трудности: в качестве конкретной установки КЛФП мы можем получить классическую механику, электромагнетизм или даже неабелеву калибровочную теорию и т. д. Позвольте мне также добавить, что общая философия, лежащая в основе КЛФП, кажется в некотором смысле единственным способом построения релятивистских расширений свободной ситуации, что является основным отличием от классической механики, в которой вы можете добавить любое ограничение к свободной частице, не нарушая ее. какой-либо фундаментальный принцип теории. Я лишь перефразирую уже упомянутое П. Делинем и Д. Фридом в первом томе «КТП и струны для математиков».
Теперь, что касается проблемы квантования каждой из конкретных настроек, которые вы можете рассматривать в КЛПТ, есть несколько проблем, с которыми нужно разобраться. Позвольте мне рассмотреть два разных аспекта проблемы: пертурбативную и непертурбативную КТП. Мы можем сказать, что первое является (морально) тенью второго. Более того, пертурбативная КТП (pQFT) может быть разработана математически строгим образом во многих ситуациях. Вы можете увидеть статью Р. Борчердса в архиве "Перенормировка и квантовая теория поля" (хотя некоторые идеи уже присутствовали в других текстах в литературе, и, на мой взгляд, они скрываются за некоторыми конструкциями и доказательства автора, см., например, статьи О. Штейнмана, которые также рассматривались Р. Брунетти, К. Фреденхагеном и др.). В этой ситуации он строго определяет объект, который ведет себя как мера Фейнмана («через теорему Рисса»), и дает очень полное описание того, как следует описывать pQFT в нескольких ситуациях. Проблема остается, однако, в том, чтобы дать правильную формулировку непертурбативной КТП. Это серьезная проблема, и было выполнено лишь несколько строгих построений вплоть до размерности 2 (а также размерности 3, но, насколько мне известно, очень мало. Было бы неплохо услышать экспертов в этом вопросе). Вы можете ознакомиться с книгой Дж. Глимма и А. Джаффе "Квантовая физика – функционально-интегральная точка зрения". На самом деле основная проблема возникает при попытке квантования калибровочной теории как части набора ситуаций КТП. Отсутствие такой общей картины фактически означает, что мы фактически не знаем, как на самом деле выглядит Квантовая Калибровочная Теория (или, если хотите, как раз она и является). В частности (я утверждаю это, потому что некоторые люди утверждают, что нижеследующее является следствием наличия только пертурбативного описания), двух основных утверждений физиков о стандартной модели (которые в некотором смысле связаны), массовой щели и удержания кварков, не доказаны (первое фактически составляет одну из проблем премии тысячелетия). Излишне говорить, что ни один из физических эвристических аргументов явно не достаточен. два основных утверждения физиков о стандартной модели (которые в некотором смысле связаны), массовая щель и удержание кварков, не доказаны (первое фактически составляет одну из проблем премии тысячелетия). Излишне говорить, что ни один из физических эвристических аргументов явно не достаточен. два основных утверждения физиков о стандартной модели (которые в некотором смысле связаны), массовая щель и удержание кварков, не доказаны (первое фактически составляет одну из проблем премии тысячелетия). Излишне говорить, что ни один из физических эвристических аргументов явно не достаточен.
пользователь46925