Интегральная теорема Гельмгольца - Кирхгофа

Чтобы не отвлекать внимание от величия работы, проделанной этими людьми в далеком прошлом, и никоим образом не умалять ценности книги Гудмена по этой теме, можно использовать другой подход к трактовке дифракции, столь же строгий и, на мой взгляд, гораздо более понятный. . Для этого не нужна клейкая лента . Объясняя этот подход, я надеюсь ответить на ваши вопросы.

Идея состоит в том, чтобы рассматривать свободное пространство как систему. Эта система линейна и инвариантна к сдвигу . Входом в систему является комплексная функция, представляющая скалярное оптическое поле во входной плоскости.$g(x,y,0)$а выход представляет собой сложное оптическое поле в выходной плоскости$g(x,y,z)$, расположенный на некотором расстоянии$z$от входной плоскости. Основываясь на линейности и инвариантности к сдвигу, можно сразу записать общее выражение для выхода через вход.

$$g(x,y,z)=\int g(x',y',0) G(x-x',y-y';z) dx dy .$$ Вы можете заметить, что это интеграл свертки и $G(x,y;z)$является функцией Грина (также называемой импульсной характеристикой в ​​теории линейных систем).

Как получить выражение для этой функции Грина? Можно поступить следующим образом, используя стандартный подход. Идея состоит в том, чтобы разложить входную функцию по собственным функциям системы, а затем восстановить выходную функцию по этим собственным функциям после того, как они прошли через систему.

Каковы собственные функции для распространения в свободном пространстве? Они были бы решениями уравнения Гельмгольца; для наших целей здесь можно использовать плоские волны. Что происходит с плоскими волнами, когда они распространяются на расстояние$z$? Они улавливают фазовый коэффициент, который зависит от вектора распространения и расстояния распространения. В частности,

$$\exp[-i (x k_x + y k_y)] \rightarrow \exp[-i (x k_x + y k_y + z k_z)] ,$$ где $$k_z = \sqrt{k^2-k_x^2-k_y^2} .$$

Теперь, чтобы расширить входную функцию с точки зрения плоских волн, нужно просто выполнить двумерное преобразование Фурье входной функции. Результатом является угловой спектр$F(k_x,k_y)$. Затем можно было бы умножить этот угловой спектр на фазовый коэффициент распространения$\exp(-i z k_z)$и выполните обратное преобразование Фурье, чтобы получить выходную функцию.

Весь процесс может быть выражен как

$$g(x,y,z)=\int \int g(x',y',0) e^{i (x' k_x + y' k_y)} dx dy\ e^{-i (x k_x + y k_y + z k_z)} d k_x d k_y .$$ Интеграл по $x,y$представляет собой первое преобразование Фурье и интеграл по $k_x,k_y$является окончательным обратным преобразованием Фурье.

Теперь можно поменять порядок интегрирования и записать интеграл в виде

$$g(x,y,z)=\int g(x',y',0) \int e^{-i [(x-x') k_x + (y-y') k_y + z k_z]} d k_x d k_y dx dy .$$ Тогда можно сначала вычислить интегралы по $k_x,k_y$получить $$g(x,y,z)=\int g(x',y',0) G(x-x',y-y';z) dx dy ,$$ где $$G(x,y;z)=\int e^{-i (x k_x + y k_y + z k_z)} d k_x d k_y .$$

Итак, мы видим, что действительно получаем интеграл свертки, а функция Грина — это просто интеграл по всем плоским волнам с$k_z$выражается в терминах$k_x$и$k_y$. Однако последний интеграл не так просто вычислить. В параксиальном пределе это дает ядро ​​Френеля. Если вычислить интеграл для функции Грина численно, можно увидеть, что он напоминает известную функцию Грина для распространения в свободном пространстве.

$$G(r) = \frac{\exp(i k r)}{r} .$$ Однако это не совсем то же самое.

Надеюсь, это даст вам более интуитивно привлекательный способ понять распространение в свободном пространстве.

Стандартный метод доказательства HKIT использует общее отношение между двумя функциями (второе тождество Грина) для вывода свойства общей функции ($U$) от свойств конкретного ($G$). В этом случае «общее соотношение» упрощается (его левая часть становится равной нулю), поскольку обе функции являются решениями уравнения Гельмгольца ($U$по гипотезе и$G$по построению). Впечатление «клейкой ленты» возникает из-за того, что нелогично выводить свойство одной функции из свойств другой.

Используя HKIT или иным образом *, можно показать, что волновая функция в области, не содержащей источников, из-за «первичных» источников за пределами этой области, выглядит так, как если бы первичные источники были заменены определенным распределением « вторичных » источников на границе области. Но оказывается, что вторичные источники имеют определенную направленность, которая не улавливается вашим последним предложенным интегралом, который, следовательно, не эквивалентен HKIT.

* Вот моя попытка сделать это «иначе», в результате чего я получаю форму HKIT из вторичных источников, а не наоборот: « Последовательный вывод интегральной теоремы Кирхгофа и формулы дифракции и преобразования Магги-Рубиновича с использованием высоких школьная математика ». Итак, если я не напортачил по-крупному, HKIT можно получить без идентификации Грина (и без предположения, что поверхность интегрирования плоская). PS (15 октября 2022 г.): в какой-то момент я ошибся, но я обновил ссылку, чтобы показать исправленную версию.