Интерференция двух волн

В первом случае с$y_1=A\sin(kx-wt)$и$y_2=A\sin(kx+wt)$вы получаете стоячую волну, так как сумма$y_1+y_2=2A\sin(kx)\cos(wt)$. Это потому, что две волны распространяются в противоположных направлениях. Во втором случае у вас нет стоячих волн, потому что волны распространяются в одном направлении. В любом случае, это простая тригонометрия. Из отношений

$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\alpha$$ $$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\sin\beta\cos\alpha$$ Вы получаете $$\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)=2\sin\alpha\cos\beta$$ Теперь позвольте$\gamma=\alpha+\beta$и$\delta=\alpha-\beta$, у вас есть $$\alpha=\frac{\gamma+\delta}{2}$$ $$\beta=\frac{\gamma-\delta}{2}$$ так $$\sin\gamma+\sin\delta=2\sin\frac{\gamma+\delta}{2}\cos\frac{\gamma-\delta}{2}$$

Тогда в случае (1) у вас есть$\gamma=kx-wt$и$\delta=kx+wt$и из формулы выше вы получаете

$$y_1+y_2=2A\sin(kx)\cos(wt)$$ В случае (2) у вас есть$\gamma=kx-wt$и$\delta=kw-wt+\phi$. Поместив это в приведенное выше уравнение, вы получите $$\sin(kx-wt)+\sin(kw-wt+\phi)=2\sin\left(kw-wt+\frac{\phi}{2}\right)\cos\left(\frac{\phi}{2}\right)$$ я рассмотрел$A=1$.

Использование фазоров может помочь в таком случае?

На схеме эталонный вектор$WX$представляет$A\sin(kx-\omega t)$с амплитудой$A$в какой-то позиции$x$и вектор$WY$представляет$A\sin(kx-\omega t+\phi)$в том же положении с той же амплитудой$A$и ведущий$A\sin(kx-\omega t)$к$\phi$.

На диаграмме сразу видно, что результирующий вектор$WY$опережает эталонный вектор на$\frac \phi 2$и так в форме$\sin(kx-\omega t+\frac \phi 2)$

Амплитуда результирующего вектора равна длине$WY$который можно найти, применяя правило косинусов к треугольнику$WXY$

$$WY^2 = A^2 + A^2 - 2 \,A\,A\cos (\pi - \phi) = A^2 \,2(1-\cos^2 \phi)= 4A^2\cos^2 \left (\frac \phi 2 \right)$$

$$\Rightarrow WY = 2A\cos \left (\frac \phi 2 \right)$$

Результирующий вектор имеет амплитуду$2A\cos \left (\frac \phi 2 \right)$так можно записать как

$$2A\cos \left (\frac \phi 2 \right)\sin(kx-\omega t+\frac \phi 2)$$

Ответ на вопрос, заданный ОП.

Со стоячей волной можно бороться таким образом.

The $A\sin(kx +\omega t)$вариацию можно рассматривать как$A\sin(\omega t + \phi)$вариация на позиции$x$где$\phi = kx$.
Это можно изобразить в виде вектора, который$\phi$перед эталонным вектором$A\sin{\omega t}$вектор

The $A\sin(kx - \omega t)$изменение в той же позиции$x$немного сложнее иметь дело следующим образом.

$A\sin(kx - \omega t) = - A \sin(\omega t - kx) = A \sin(\omega t - kx - \pi) = A \sin(\omega t - (\phi + \pi))$

Это вектор, который отстает от эталонного вектора.$A\sin \omega t$к$\phi + \pi$

Итак, когда вы перемещаете позицию$x$фаза$\phi$изменяется, чтобы получить другую, но постоянную амплитуду результирующего вектора.

Когда$x=0 \Rightarrow \phi =0$результат$0$и когда$x= \frac{\pi}{2k} \left (= \frac{\lambda}{4}\right )$результат$2A$.

Результирующий вектор равен$\frac \pi 2$перед ссылкой$\sin\omega t$фазовращатель т.е.$\cos \omega t$и имеет амплитуду$2A\sin \phi \Rightarrow 2A\sin\phi\cos \omega t$