Почему принцип Гюйгенса действителен только в нечетном числе пространственных измерений?

Следует посмотреть на вид расширенного фундаментального решения уравнения Даламбера, построенного на геодезически выпуклых открытых множествах, включающих локализованный в событии источник$y$и контрольная точка, локализованная на входе$x$прием волны, генерируемой источником. Конструкция, по крайней мере, для аналитических многообразий с аналитической метрикой, получается путем суммирования красивого ряда, первоначально открытого Адамаром (и на самом деле обработанного Риссом; действительно, есть замечательная статья Рисса на французском языке об этой фантастической конструкции, в настоящее время связывающей теорию теплового ядра). с КТП в кривом пространстве-времени). Результаты Адамара-Рисса были распространены на гладкий случай несколькими современными авторами (см. учебники Гюнтера и Фридлендера). Ряд, если размерность порождает фундаментальное решение, содержащее член, который полностью опирается на световой конус, исходящий из$y$. Поэтому, говоря только об этом члене, решения уравнения Даламбера, испускаемые$y$распространяется вдоль нулевых геодезических, чтобы достичь$x$из$y$. В основном это принцип Гюйгенса.

Если размерность четная, а многообразие не плоское или размерность нечетная, к члену, локализованному на световом конусе, добавляются дополнительные члены. Лежащее в основе «математическое явление» в плоском пространстве-времени более или менее такое же, как при добавлении массы к оператору Даламбера, что приводит к переходу к уравнению Клейна-Гордона, которое не подчиняется принципу Гюйгенса.

Существенным моментом является то, что этот дополнительный член теперь поддерживается внутри будущего светового конуса, исходящего из$y$. В этом случае есть вклад в волновые решения, излучаемые$y$распространяющиеся по времениподобным геодезическим от$y$к$x$, и принцип Гюйгенса не работает.

Я думаю, что это произошло от Адамара и его метода спуска. См. «Лекции по проблеме Коши в линейных уравнениях с частными производными», начиная со стр. 7. Его результаты заключались в том, что волны в двух измерениях не распространяются резко, но имеют след (хвост, ..). Например. круговая волна, распространяющаяся в двумерном пространстве, по сравнению со сферической волной, распространяющейся в трехмерном пространстве, где она будет распространяться чисто без следа.

Адамар, по сути, разрезал цилиндрическую волну в трех измерениях, чтобы получить круговую волну в двух измерениях (нисходящей в одном измерении). Люди считают размножение без следа одним из критериев соблюдения принципа Гюйгенса.

Так что это источник «почему», если вы принимаете результаты Адамара.

Это более подробная версия ответа @tparker.

Предполагать$\phi(x,t)$является сферически-симметричным решением волнового уравнения, удовлетворяющим начальным условиям

Тогда у нас есть:

Теорема 1: Если число измерений нечетно,$\phi(x,t)$полностью определяется значениями$f$на прошлом "световом конусе"$(x,t)$.

Теорема 2: Если число измерений четное,$\phi(x,t)$зависит от значений$f$как на, так и внутри прошлого светового конуса$(x,t)$.

Точнее пусть$M(x,t)$быть средним значением$f$на сфере радиуса$t$около$x$. Тогда теоремы 1 и 2 следуют из:

Теорема 1$'$: Если количество измерений нечетное,$\phi(x,t)=t M(x,t)$.

Теорема 2$'$: Если количество измерений четное, то

Таким образом, в четном числе измерений среднее значение f на каждой сфере каждого радиуса от$0$к$t$способствует решению, в то время как в нечетном количестве измерений только сфера радиуса$t$способствует. В частности, в четном числе измерений (но не в нечетном числе) начальное возмущение в начале координат может иметь последствия в$x$после прохождения начального гребня волны.

Теоремы$1'$а также$2'$не так уж сложно доказать, но, возможно, было бы более поучительно рассмотреть лежащую в их основе интуицию. А именно:

Имея начальные данные, скажем, для 2-мерной волны, мы можем создать начальные данные для 3-мерной волны, используя те же данные и сделав их независимыми от третьей координаты, которую я назову$z$.

Теперь, если мы решим трехмерную задачу, мы должны получить решение, не зависящее от$z$; ограничиваясь плоскостью, мы решили нашу двумерную задачу.

При этой операции, если наши начальные данные сосредоточены вблизи начала координат для 2D-задачи, они будут сосредоточены по всему периметру.$z$-ось для трехмерной задачи. Таким образом, из каждой точки вдоль$z$-ось, мы получаем расширяющуюся 3-х мерную сферу ненулевой волны.

Теперь рассмотрим точку$P$в плоскости. Каждый из нашего вертикального массива расширяющихся сфер в конечном итоге пройдет через точку$P$. Вот почему будут постоянные ненулевые значения волны в точке$P$(и точно объясняет, почему все, что находится внутри светового конуса прошлого, а не только на световом конусе, имеет значение в данном событии).

Принцип Гюйгена в основном эквивалентен тому факту, что функция Грина$G(s)$ибо волновое уравнение имеет носитель только при$s = 0$, куда$s$в инвариантном пространственно-временном интервале. Другими словами, сигналы могут распространяться только точно по световому конусу, а не внутри светового конуса — они распространяются со скоростью света/звука, не оставляя за собой «следа». Тот факт, что это свойство сохраняется только в нечетных пространственных измерениях, является довольно простым упражнением в комплексной интеграции контуров, продемонстрированным, например, в https://link.springer.com/article/10.1007%2FBF02903572 .