Свободно падающий наблюдатель в метрике Шварцшильда

Я смотрел на этот вопрос о некоординатной основе: https://www.physicsforums.com/threads/noncoordinate-basis.102902/

В ответе номер 4 дан ортонормированный базис свободнопадающего наблюдателя в метрике Шварцшильда, я пытаюсь вывести этот базис, но у меня не получается. Основа для наблюдателя с постоянным р , θ , ф также дается Я уже понимаю, как это получить.

Для свободно падающего наблюдателя имеем координаты т ′ , р ′ , θ ′ , ф ′ Поскольку он падает радиально, мы имеем

∂ ∂ т ′ "=" ∂ т ∂ т ′ ∂ ∂ т + ∂ р ∂ т ′ ∂ ∂ р

Мы можем оценить ∂ ∂ т ′ ⊗ ∂ ∂ т ′ в метрику, указанную в ссылке

г "=" ( 1 − 2 М р ) г т ⊗ г т − ( 1 − 2 М р ) − 1 г р ⊗ г р − р 2 ( грех 2 ⁡ θ г θ ⊗ г θ + г ф ⊗ г ф ) .

Получаем тогда уравнение:

1 "=" ( 1 − 2 М р ) ( ∂ т ∂ т ′ ) 2 − ( 1 − 2 М р ) − 1 ( ∂ р ∂ т ′ ) 2

И из геодезического уравнения мы можем вывести

∂ т ∂ т ′ "=" − С ( 1 − 2 М р )

Отсюда я вижу, что если я возьму С "=" 1 а затем заменить в уравнении до того, как я получу

е 0 ′ "=" ( 1 − 2 М р ) − 1 ∂ ∂ т − ( 2 М р ) 1 2 ∂ ∂ р

Тогда я застрял для р ′ координаты, так как у меня нет для нее геодезического уравнения. Также я не уверен, что могу предположить С "=" 1 . Есть ли стандартный способ решить эту проблему? любая помощь в этом приветствуется.

Ответы (1)

Рассмотрим метрику Шварцшильда, приняв в качестве соглашения о подписи отрицательный знак временной составляющей метрики.
г с 2 "=" − г г т 2 + г − 1 г р 2 + р 2 ( г θ 2 + грех 2 ⁡ θ г ф 2 )
где:
г "=" 1
с "=" 1
г "=" ( 1 − 2 М / р )

У нас есть три системы отсчета:
Шварцшильда с координатами ( т , р , θ , ф )
Стационарный наблюдатель с координатами ( т , р с т а т , θ с т а т , ф с т а т )
Свободнопадающий наблюдатель с координатами ( т ′ , р ′ , θ ′ , ф ′ )

Стационарный наблюдатель на постоянной р , θ и ф
Базис времени построен на четырехскоростном U с т а т "=" ∂ т "=" г т / г т ∂ т , с г т / г т "=" г − 1 / 2 , давая е 0 "=" ∂ т "=" г − 1 / 2 ∂ т . Он нормализован квадратом нормы = − 1 . Радиальный базис строится как ∂ р затем нормализуется с квадратом нормы = + 1 , давая е 1 "=" ∂ р с т а т "=" г 1 / 2 ∂ р . То есть
е 0 "=" ( 1 − 2 М / р ) − 1 / 2 ∂ т
е 1 "=" ( 1 − 2 М / р ) 1 / 2 ∂ р
The е 0 и е 1 являются ортонормированными.

Свободно падающий наблюдатель из состояния покоя на бесконечности
Это радиальный путь, т.е. θ и ф . Вы можете связать свободно падающую систему координат с неподвижной системой координат с помощью преобразования Лоренца.
т "=" γ т ′ + γ в р ′
р с т а т "=" γ в т ′ + γ р ′
в "=" − ( 2 М / р ) 1 / 2
скорость в получается путем сравнения энергии свободного падения, измеренной неподвижным наблюдателем, рассчитанной как Е "=" − п мю U с т а т мю и в качестве Е "=" γ м с γ "=" ( 1 − в 2 ) − 1 / 2 .
Связь между частными производными такова
∂ т ′ "=" ∂ т / ∂ т ′ ∂ т + ∂ р с т а т / ∂ т ′ ∂ р с т а т
∂ р ′ "=" ∂ т / ∂ р ′ ∂ т + ∂ р с т а т / ∂ р ′ ∂ р с т а т
где:
∂ т / ∂ т ′ "=" γ
∂ р с т а т / ∂ т ′ "=" γ в
∂ т / ∂ р ′ "=" γ в
∂ р с т а т / ∂ р ′ "=" γ
Как у вас есть
е 0 ′ "=" ∂ т ′
е 1 ′ "=" ∂ р ′
ты можешь написать
е 0 ′ "=" γ е 0 + γ в е 1
е 1 ′ "=" γ в е 0 + γ е 1
высказываться против ∂ т и ∂ р
е 0 ′ "=" γ г − 1 / 2 ∂ т + γ в г 1 / 2 ∂ р
е 1 ′ "=" γ в г − 1 / 2 ∂ т + γ г 1 / 2 ∂ р
и вспоминая это
γ "=" г − 1 / 2
г "=" ( 1 − 2 М / р )
в "=" − ( 2 М / р ) 1 / 2
у нас есть
е 0 ′ "=" г − 1 ∂ т + в ∂ р "=" ( 1 − 2 М / р ) − 1 ∂ т − ( 2 М / р ) 1 / 2 ∂ р
е 1 ′ "=" в г − 1 ∂ т + ∂ р "=" − ( 2 М / р ) 1 / 2 ( 1 − 2 М / р ) − 1 ∂ т + ∂ р
The е 0 ′ и е 1 ′ также являются ортонормированными.
Примечание.
Чтобы завершить ортонормированный базис, мы также
е 2 "=" е 2 ′ "=" 1 / р ∂ θ
е 3 "=" е 3 ′ "=" 1 / ( р грех ⁡ θ ) ∂ ф

Мне кажется, здесь чего-то не хватает. Как вы получаете «помните, что гамма = (..)»? Разве мы не должны конкретно выяснить, какова величина ускорения для перехода из неподвижной системы наблюдения в движущуюся систему наблюдения? Кроме того, эта база, по-видимому, не удовлетворяет ты ′ м "=" е мю ′ м ты мю "=" ( 1 , 0 , 0 , 0 ) когда ты мю есть 4-скорость свободно падающего наблюдателя, т. е. ты мю "=" ( г − 1 , ± ( 1 − р с / р ) , 0 , 0 ) . Что дает? Не похоже, что это правильное решение.
АХ! ОКОНЧАТЕЛЬНО! Я думал, что схожу с ума. я пытался вычислить е ν мю инвертировать, а затем умножить его на 4-вектор, и это не сработало. Оказывается, я пропустил транспонирование при расчете матрицы. Сотрите последнюю часть. Тем не менее, я думаю, что в нем все еще отсутствует часть ответа, в частности, как усиление Лоренца связано со свободно падающим наблюдателем.
Свободно падающий наблюдатель в метрике Шварцшильда
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v