Искривление света черными дырами

Общая теория гравитационного линзирования показывает, что луч света, приближающийся в пределах радиуса$r~>>~2GM/c^2$отклонится примерно на угол$\theta~=~GM/rc^2$. В более общем случае отклонение света определяется угловым радиусом Эйнштейна.

$$\theta_E~=~\sqrt{\frac{4GM}{c^2}\frac{d_{ls}}{d_ld_{s}}},$$ где $d_{ls},~d_l,~d_s$- угловые диаметры гравитационной линзы, источника и расстояния между гравитационной линзой и источником. Для $d_{ls},~d_l,~d_s$угловые диаметры гравитационной линзы, источника и расстояние между гравитационной линзой и источником. Состояние $d_s~=~d_l~+~d_{sl}$получается локально там, где увлечение космологической системы отсчета мало. Эта теория представляет собой приближение слабого гравитационного линзирования, в котором отклонение света по существу является ньютоновским результатом. Отношения расстояния определяются $\theta d_s~=~\beta d_s~+~\alpha' d_{ls}$, для углов, указанных на рисунке. Угол отклонения приведенный угол отклонения $\alpha(\theta)~=~(d_{ls}/d_s)\alpha'(\theta)$дает связь между углами важности $\alpha(\theta)~+~\beta~=~\theta$. Фон, который затем искажается, масштабируется как квадратный корень из массы черной дыры или большого гравитирующего тела. Таким образом, на фиксированном расстоянии наблюдается большая стерадианная мера дистрофии.

По позиции источника$\vec x$, распространение света вдоль$z$ось от этого источника затем уменьшает визуальный вид объекта до$\vec\xi~=~(\xi_x,~\xi_y)$вдоль оси оптического распространения. Тогда слабое гравитационное линзирование света указывает на то, что отклонение внешнего вида этого объекта вдоль оси оптического распространения определяется

$$\Delta{\vec\xi}~=~\nabla\Phi(\xi),$$ для $\xi$положение изображения с присутствующей массой и $\Phi(\xi)$гравитационный потенциал. Разница в векторном положении изображения ${\vec\xi}_i~-~{\vec\xi}_s$это разница между положением с массой и без нее. Потенциальный член подчиняется уравнению Пуассона, так что $$\nabla^2\Phi~=~2\frac{\Sigma(\vec\xi)}{\Sigma_c}$$ Затем интегрирование по направлению распространения дает плотность массы в плоскости изображения, которую часто называют поверхностной плотностью массы. $\Sigma(\vec\xi)$. Угол отклонения $\alpha$тогда определяется уравнением Пуассона и потенциалом как $${\vec\alpha}’(\vec\xi)~=~\frac{4G}{c^2}\int\frac{(\vec\xi~-~\vec\xi')\Sigma(\vec\xi')}{|\vec\xi~-~\vec\xi'|^2}d^2\xi',$$ для $\Sigma(\vec\xi)$распределение плотности массы/площади на изображении. Функция $\Sigma(\vec\xi)$играет роль показателя преломления, основанного на распределении масс, который для тонкой линзы дает угол отклонения. Для гравитационной тонкой линзы слабое поле, очень малое по сравнению с длиной оптического пути, и $\Sigma(\vec\xi)$является константой. Угол отклонения просто $$\alpha(\xi)~=~\frac{4\pi G}{c^2}\frac{\Sigma(\xi) d_{ls}\xi}{d_s}$$ где для малых углов $|\vec\xi|~=\xi~=~d_l\theta$и $$\alpha(\xi)~=~\frac{4\pi G\Sigma}{c^2}\frac{d_{ls}d_l}{d_s}~=~\frac{\Sigma}{\Sigma_c}\theta$$ для плотности критической массы $\Sigma_c~=~(c^2/4\pi G)(d_s/d_{ls}d_l)$. Это минимальная плотность массы, которая может быть распределена по площади кольца Эйнштейна.

Известно, что звезды вблизи Солнца отклоняются на 1,75 угловых секунды, как и предсказывал Эйнштейн.
Я подсчитал, что звезды на другой стороне галактики, свет которых проходил очень близко к центру галактики, случайно отклонились бы примерно на такую ​​же величину.
Если бы вы наблюдали в субмиллиметровом диапазоне, вы могли бы ее увидеть, точно так же, как Доулман видит саму черную дыру.
Но потребовалось бы гораздо больше жизни, чтобы что-то прошло за черной дырой в центре галактики.
Видимый диаметр радиуса Шварцшильда составляет около 40 угловых микросекунд или около 10^-10 радиан. Вот насколько маленькими вы должны были бы видеть, чтобы обнаружить те звезды, угол отклонения которых равен радиану или больше.

Кажущийся радиус кольца Эйнштейна в радианах приблизительно равен квадратному корню из него, т.е. 10^-5 радиан или около 2 угловых секунд, что очень похоже на число Эйнштейна, но это просто совпадение.
Посмотрите формулу кольца Эйнштейна в Википедии, и вы можете сделать точный расчет, если хотите.

Для черной дыры свет безгранично отклоняется все больше и больше по мере приближения луча к дыре. Теоретического предела для угла нет, но есть практический предел, когда изображения сближаются.

Эскиз нулевых геодезических, образующих первые два релятивистских изображения на стороне основного изображения оптической оси. Рисунок слева представляет собой первое релятивистское изображение, которое формируется, когда фотон один раз облетает черную дыру. Рисунок справа представляет собой второе релятивистское изображение, которое формируется еще ближе к черной дыре после двойного цикла. В действительности оба изображения расположены очень близко друг к другу в плоскости линзы и очень близко к фотонной сфере черной дыры.

См. рис. 1.4, стр. 39/18:

Бин-Нун, Амитай Исраэль, Гравитационное линзирование с большим углом отклонения как исследование общей теории относительности и галактического центра (2010). Общедоступные диссертации Penn. http://repository.upenn.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1352&context=edissertations