Может ли существовать «безопасная» черная дыра и как этого избежать?

На самом деле такая структура невозможна, и это можно рассматривать как высказывание о жесткости.

---

Сначала некоторые расчеты

Рассмотрим часть такой конструкции. Это координаты Шварцшильда.$(t,r,\theta,\phi)_\mathrm{S}$будет$x^\mu = (t,r_0,\theta_0,\phi_0)_\mathrm{S}$, где$t$— произвольный параметр, который я выбрал для согласования со стандартной временной координатой, а остальные значения фиксированы. То есть точка движется только во времени.

Теперь будем работать в координатах Крускала-Секереша. $(T,X,\theta,\phi)_\mathrm{KS}$, которые проходят через горизонт событий без каких-либо проблем. (Мы могли бы работать и в Шварцшильде и получить тот же ответ, но это просто на всякий случай.) Преобразование дается выражением

$$\begin{align} T & = \begin{cases} \sqrt{\frac{r}{2M}-1} \mathrm{e}^{r/4M} \sinh\Big(\frac{t}{4M}\Big), & r > 2M; \\ \sqrt{1-\frac{r}{2M}} \mathrm{e}^{r/4M} \cosh\Big(\frac{t}{4M}\Big), & r < 2M; \end{cases} \\ X & = \begin{cases} \sqrt{\frac{r}{2M}-1} \mathrm{e}^{r/4M} \cosh\Big(\frac{t}{4M}\Big), & r > 2M; \\ \sqrt{1-\frac{r}{2M}} \mathrm{e}^{r/4M} \sinh\Big(\frac{t}{4M}\Big), & r < 2M; \end{cases} \\ \theta & = \theta; \\ \phi & = \phi. \end{align}$$

В этих координатах имеем$x^\mu = (T,X,\theta_0,\phi_0)_\mathrm{KS}$, где$T$и$X$оба зависят от нашего параметра мировой линии$t$(и фиксированный параметр$r$). Точки обозначают дифференцирование по$t$, у нас есть$\dot{x}^\mu = (\dot{T},\dot{X},0,0)_\mathrm{KS}$, где

$$\dot{T} = \begin{cases} \frac{1}{4M} \sqrt{\frac{r}{2M}-1} \mathrm{e}^{r/4M} \cosh\Big(\frac{t}{4M}\Big), & r > 2M; \\ \frac{1}{4M} \sqrt{1-\frac{r}{2M}} \mathrm{e}^{r/4M} \sinh\Big(\frac{t}{4M}\Big), & r < 2M; \end{cases}$$ и $$\dot{X} = \begin{cases} \frac{1}{4M} \sqrt{\frac{r}{2M}-1} \mathrm{e}^{r/4M} \sinh\Big(\frac{t}{4M}\Big), & r > 2M; \\ \frac{1}{4M} \sqrt{1-\frac{r}{2M}} \mathrm{e}^{r/4M} \cosh\Big(\frac{t}{4M}\Big), & r < 2M. \end{cases}$$

Метрика определяется

$$ds^2 = \frac{32M^3}{r} \mathrm{e}^{-r/2M} (-\mathrm{d}T^2 + \mathrm{d}X^2) + r^2 (\mathrm{d}\theta^2 + \sin^2\theta \mathrm{d}\phi^2).$$ При этом мы можем оценить для нашей мировой линии количество $$g_{\mu\nu} \dot{x}^\mu \dot{x}^\nu = \frac{2M}{r} - 1,$$ что справедливо для всех $r$внутри и вне горизонта.

---

Теперь немного анализа

Количество$g_{\mu\nu} \dot{x}^\mu \dot{x}^\nu$есть внутренний продукт касательной к мировой линии с самой собой. В частности, частица$4$-скорость$u^\mu$подчиняется

$$g_{\mu\nu} u^\mu u^\nu = g_{\mu\nu} \dot{x}^\mu \dot{x}^\nu \Big(\frac{\mathrm{d}\tau}{\mathrm{d}t}\Big)^{-2},$$ где $\tau$собственное время частицы. Но для массивной частицы $g_{\mu\nu} u^\mu u^\nu = -1$всегда. Таким образом, мы можем решить, чтобы найти $$\frac{\mathrm{d}\tau}{\mathrm{d}t} = \pm \sqrt{1-\frac{2M}{r}}.$$

Знак определяет, движемся ли мы вперед или назад во времени. Но обратите внимание, что что-то ужасное происходит для$r < 2M$: правая часть становится мнимой. То есть не существует решения для массивной частицы, движущейся вдоль предложенной нами мировой линии, которая, как вы помните, определяется как постоянная по радиусу и угловым координатам.

---

Что это говорит о сценарии

Ни одна массивная частица не может сопротивляться движению к центру черной дыры. Никакое ускорение (а именно конечные межмолекулярные силы прикладывают конечные ускорения для предотвращения свободного падения частиц в твердых объектах) не сделает эту мировую линию похожей на время. Действительно, оказавшись внутри горизонта событий, движение к сингулярности — это движение в будущее.

Материальные свойства подчиняются структуре пространства-времени. Точно так же, как вы не можете создать материал, который был бы настолько прочным, чтобы избежать движения вперед во времени, вы не можете создать материал, который мог бы противостоять гравитации внутри черной дыры.

Вы можете провести более общий анализ с учетом$\theta$и$\phi$меняться, а результат будет тот же. Более того, вы можете показать, что любая временная мировая линия внутри горизонта событий столкнется с сингулярностью за конечное собственное время — вы даже не можете позволить своей структуре непрерывно сжиматься, но никогда не достигнете центра. Если черная дыра вращается, все становится... интересным... но об этом анализе в другой раз.

Что я считаю сферической структурой$M$, состоящий из чрезвычайно жесткого материала, образующего его поверхность, которая в остальном полая. Итак, теперь предположим$M$настолько плотный, что содержится в радиусе Шварцшильда, но материал настолько жесткий, что на самом деле не разрушается.

Это нереально, потому что на практике вы не сможете сформировать такую ​​структуру. Но ничего, хорошо подумать о таких вещах.

Тогда в абсолютном центре$M$гравитационная сила, которую можно было бы испытать, равна 0 (на самом деле существует сфера ненулевого объема вокруг центра, для которой не существует значительного гравитационного притяжения)

Справедливо. Обратите внимание, что для обычного гравитирующего тела сила тяжести в некотором месте связана с локальным градиентом гравитационного потенциала. Это, в свою очередь, связано с локальным градиентом «координатной» скорости света. Вы можете эффективно измерить это, используя оптические часы на разных высотах. Часы идут медленнее, когда они ниже. Если вы находитесь в таком месте, как центр Земли, где все часы вокруг вас идут с одинаковой скоростью, вы находитесь в месте, где нет гравитационной силы.

В таком случае,$M$является черной дырой, но она не несет в себе сингулярности, т. е. это горизонт событий, охватывающий то, что в остальном является довольно нормальным куском пространства.

Это не особенно нормально, но неважно. Мы могли бы подумать о каком-то мысленном местоположении в пределах горизонта событий сверхмассивной черной дыры.

Я не слишком хорошо в них разбираюсь, но, похоже, считается, что все черные дыры несут сингулярности.

Так говорят люди. Но если бы вы читали электронные документы Эйнштейна, я подозреваю, что вы бы не согласились с утверждением, что в центре каждой черной дыры есть точка-сингулярность. Ключевым моментом является следующее : «искривление световых лучей происходит только в пространствах, где скорость света пространственно переменна» .

означает ли это, что такой тип структуры невозможен?

Нет. Вы найдете людей, утверждающих, что как только тело окажется в пределах горизонта событий, оно в конечном итоге окажется в центральной сингулярности. Но обратите внимание, что на горизонте событий координатная скорость света равна нулю, и она не может быть ниже этой . Это означает, что в пределах горизонта событий нет силы гравитации. Так ваша конструкция не упадет.

Если да, то можно ли вывести релятивистские границы жесткости материала, используя это?

Нет. Сценарий для этого слишком нереалистичен. Но то, что вы можете вывести, — это некоторые ограничения на абстракцию. Например, если кто-нибудь расскажет вам о координатах Крускала-Секереша , отнеситесь к этому с долей скептицизма, потому что они содержат ошибку школьника. Они заменяют координату t новой временной координатой, которая полностью игнорирует бесконечное гравитационное замедление времени на горизонте событий. В этом месте ваши оптические часы останавливаются. Координаты Крускала-Секереса эффективно помещают остановившегося наблюдателя перед остановившимися часами и утверждают, что он видит, как они идут нормально. Он этого не делает, потому что часы остановились, и он тоже. Вы можете обнаружить похожую проблему на странице MTW ниже. На диаграмме Шварцшильда слева изображена обрезанная ось времени и падающее тело, которое а) уходит в конец времени и обратно и б)в двух местах сразу . Диаграмма Крускала-Секереса справа делает это "хорошим поведением", но, боюсь, это математическая сказка.