Используя дискриминант, найдите уравнение касательных к окружности.

Я работал над вопросом по геометрии и пошел очень длинным путем, чтобы получить ответ. Рабочее решение, которое я нашел для него, использовало дискриминант, но я не понимаю, как это сделать. Вопрос был такой:

Окружность C имеет уравнение$x^2 + 6x + y^2 -2y = 7$. Прямые L1 и L2 касаются окружности в точках P и Q соответственно. Они пересекаются в точке R.$(0,6)$. Найдите уравнения прямых L1 и L2, представив ответы в виде$y=mx + b$.

Я начал с того, что начертил диаграмму, и пошел по очень длинному пути, в ходе которого несколько раз использовал Пифагор, чтобы найти различные величины расстояний, установив, что центр круга,$(-3,1)$, образует квадрат с P, Q и R. Исходя из этого, я определил градиент линии от центра к R, нашел градиент линии, перпендикулярной ему, и, наконец, смог вычислить координаты точки. точки P и Q. Только отсюда я смог закончить его и разработать уравнения касательных в точках P и Q.

Однако это заняло около 30 минут, и когда я посмотрел на отработанные решения, то увидел следующий гораздо более лаконичный метод:

Уравнения линий L1 и L2 оба$y = mx + 6$.

Замена$y = mx + 6$в уравнение окружности, расширение и факторизация дает:

$(1+m^2)x^2 + (6+10m)x + 17 = 0$

Существует одно решение, поэтому с помощью дискриминанта$b^2 - 4ac = 0$:

$(6+10m)^2 - 4(1+m^2)(17)=0$

Что расширяет и факторизует, чтобы дать:

$(4m-1)(m+4)=0$поэтому$m = 1/4$или$m = - 4$

Я действительно концептуально не понимаю, почему мы можем использовать дискриминант в этой ситуации, и был бы очень признателен, если бы кто-нибудь объяснил, что на самом деле происходит, когда мы говорим: «Есть одно решение, поэтому использование дискриминанта ...»

Заранее спасибо!