Окружность, касающаяся трех касательных окружностей

вот мой хороший ответ:

позволять$C$быть центром замкнутого круга, тогда его радиус$r$дается заданной формулой Х.К. Раджпута

$$r=\frac{abc}{2\sqrt{abc(a+b+c)}+ab+bc+ca}$$ где, $a=1, b=2, c=3$являются радиусами трех касающихся снаружи окружностей, тогда $$r=\frac{1\times2\times 3}{2\sqrt{1\times 2\times 3(1+2+3)}+1\times 2+2\times 3+3\times 1}=\frac{6}{23}$$ теперь опусти перпендикуляр $CN$длины $y$от центра $C$к оси x, чтобы получить прямоугольный треугольник $C_1NC$в какой гипотенузе $C_1C=1+\frac6{23}=\frac{29}{23}$. применять пифагорейский $$C_1N=\sqrt{(C_1C)^2-(CN)^2}=\sqrt{\left(\frac{29}{23}\right)^2-y^2}\ \ \ \ ..........(1)$$ аналогично, в прямоугольном треугольнике $CNC_2$в какой гипотенузе
$C_2C=2+\frac6{23}=\frac{52}{23}$. применять пифагорейский $$NC_2=\sqrt{(C_2C)^2-(CN)^2}=\sqrt{\left(\frac{52}{23}\right)^2-y^2}\ \ \ \ ........(2)$$ так как, обведите $C_1$& $C_2$соприкасаются, следовательно, $$C_1N+NC_2=C_1C_2=1+2=3$$ $$\sqrt{\left(\frac{29}{23}\right)^2-y^2}+\sqrt{\left(\frac{52}{23}\right)^2-y^2}=3$$ $$\sqrt{\frac{841}{529}-y^2}=3-\sqrt{\frac{2704}{529}-y^2}$$ взяв квадраты с обеих сторон, я получаю $$\sqrt{\frac{2704}{529}-y^2}=\frac{1104}{529}$$ снова я беру квадрат, $$y^2=\frac{2704}{529}-\left(\frac{1104}{529}\right)^2=\frac{400}{529}$$ $$y=\frac{20}{23}$$

выше правильное значение ординаты центра$C$замкнутого круга

Можно предположить, что центр$C_1$Я сидел$(0,0)$и центр$C_3$Я сидел$(0,4)$.

Теперь неизвестная точка, скажем,$(x,y)$. Найдите его из уравнений

$$x^2 + y^2 = (1 + r)^2$$ $$x^2 + (4-y)^2 = (3 + r)^2$$ $$(3-x)^2 + y^2 = (2 + r)^2$$

где$r$это радиус вписанной окружности. У вас есть 3 уравнения с 3 неизвестными, вы сможете закончить их отсюда.

Исправлено: у меня чихнул мозг на RHS.

В сообщении г-на Майкла Розенберга мы можем легко получить радиус$r$см окружности, вписанной тремя касательными друг к другу окружностями.

$$r=\frac{6}{23}$$ Прежде всего, мы знаем, что уравнения окружностей с радиусами 1 и 3 равны соответственно $$\begin{array}{l} C_1: x^{2}+y^{2}=1 \textrm{ and } C_3: (x-3)^{2}+y^{2}=4 \end{array}$$ Теперь расширяем круг (как показано ниже)$C_1$и$C_3$увеличив их радиусы соответственно до $$1+\frac{6}{23} \textrm{ and } 3+\frac{6}{23},$$

то новые уравнения могут быть найдены как

$$\begin{array}{l} C_1’: x^{2}+y^{2}=\left(1+\frac{6}{23}\right)^2 \textrm{ and } C_3’:x^{2}+(y-4)^{2}=\left(3+\frac{6}{23}\right)^{2} \end{array}\\ $$

Тогда ордината центра вписанного малого круга легко находится по общей хорде (горизонтальной линии)$C_1’$и$C_3’$.

$$\begin{aligned} (y-4)^{2}-y^{2} &=\left(\frac{75}{23}\right)^{2}-\left(\frac{29}{23}\right)^{2} \\ y &=\frac{20}{23} \end{aligned}$$

---

Для полноты мы также расширяем$C_2$к$C_2’$чье уравнение

$$C_{2}^{\prime}:(x-3)^{2}+y^{2}=\left(2+\frac{6}{23}\right)^{2}.$$ Решение$C_1’$и$C_2’$урожаи$x=\dfrac{21}{23}$и, следовательно, координаты центра вписанного малого круга равны$\left(\dfrac{21}{23}, \dfrac{20}{23}\right)$.