Вращение точки на окружности с известным радиусом и положением

Давайте рассмотрим более простую задачу. Предположим, у вас есть ситуация, изображенная на рисунке ниже:

Тогда, учитывая угол$\alpha$, координаты точки$C''$являются:

$$C''_x = r\cos\alpha \qquad\mbox{and}\qquad C''_y = r\sin\alpha$$

где$r$это радиус окружности.

Теперь давайте рассмотрим немного более сложную задачу, изображенную ниже:

Это очень похоже на ситуацию выше. Фактически,

$$C'_x = r\cos(\alpha+\beta) \qquad\mbox{and}\qquad C'_y = r\sin(\alpha+\beta)$$

Используя тригонометрические соотношения$\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \sin\beta\cos\alpha$и$\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$, мы можем записать вышеизложенное следующим образом:

$$C'_x = r\cos\alpha\cos\beta - r\sin\alpha\sin\beta \qquad\mbox{and}\qquad C'_y = r\sin\alpha\cos\beta + r\sin\beta\cos\alpha$$

Но подождите... Взглянув на предыдущую ситуацию и заменив$C''$с$B'$и$\alpha$с$\beta$, Мы видим, что

$$B'_x = r\cos\beta \qquad\mbox{and}\qquad B'_y = r\sin\beta$$

Следовательно, мы можем написать

$$C'_x = B'_x\cos\alpha - B'_y\sin\alpha \qquad\mbox{and}\qquad C'_y = B'_x\sin\alpha + B'_y\cos\alpha$$

Но вместо этого вы хотите следующее:

Ну, мы можем просто двигать все жестко по вектору$-\vec{OA}$так что$A$теперь является началом системы координат, и мы получаем ситуацию чуть выше. Это равносильно вычитанию$A$от обоих$B$и$C$получить$B'$и$C'$выше, и мы находим

$$C_x - A_x = (B_x-A_x)\cos\alpha - (B_y-A_y)\sin\alpha$$ $$C_y - A_y = (B_x-A_x)\sin\alpha + (B_y-A_y)\cos\alpha$$

Затем, наконец,

$$C_x = A_x + (B_x-A_x)\cos\alpha - (B_y-A_y)\sin\alpha$$ $$C_y = A_y + (B_x-A_x)\sin\alpha + (B_y-A_y)\cos\alpha$$

Это называется аффинным преобразованием. По сути, идея состоит в том, чтобы временно сместить нашу окружность так, чтобы она была сосредоточена вокруг начала координат, применить матрицу вращения к точке, как это делается в линейной алгебре, а затем сместить ее обратно. Используя обозначение, которое у вас есть в вашей задаче, а также добавив

$$M=\left(\begin{array}{cc} \cos(\alpha) & -\sin(\alpha)\\ \sin(\alpha) & \cos(\alpha)\\ \end{array}\right)$$ Для представления поворота против часовой стрелки на угол $\alpha$(если вы хотите по часовой стрелке, как показано на картинке, просто поменяйте местами $-\sin(\alpha)$с $\sin(\alpha)$), это преобразование определяется выражением: $${C}=M(B-A)+A$$ где $A,B,C$являются векторами, представляющими их соответствующие точки.