Попарно пересекающиеся окружности R,G,BR,G,BR,G,B имеют совпадающие общие хорды?

Уравнения трех окружностей

$(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 = r_1^2 \hspace{30pt}(1)$

$(x - x_2)^2 + (y - y_2)^2 = r_2^2 \hspace{30pt}(2)$

$(x - x_3)^2 + (y - y_3)^2 = r_3^2 \hspace{30pt}(3)$

Пересекающиеся$(1)$с$(2)$, точки пересечения лежат на прямой

$- 2 x (x_1 - x_2) - 2 y (y_1 - y_2) = r_1 ^2 - r_2 ^ 2 \hspace{30pt}(4)$

Пересекающиеся$(1)$с$(3)$, точки пересечения лежат на прямой

$- 2 x (x_1 - x_3) - 2 y( y_1 - y_3) = r_1^2 - r_3^2 \hspace{30pt} (5)$

И, наконец, пересечение$(2)$с$(3)$, точки пересечения лежат на прямой

$- 2 x (x_2 - x_3) - 2 y (y_2 - y_3) = r_2 ^ 2 - r_3 ^ 2 \hspace{30pt}(6)$

Если$(x, y)$удовлетворяет$(4)$и$(5)$это должно удовлетворить$(6)$. Это можно увидеть, вычитая уравнение$(4)$от$(5)$.

Следовательно, да, три отрезка линии всегда встречаются в одной точке.

Вызов$p$пересечение$uw$и$xy$. Линия$zp$пересекается$G$в$s_1$и$B$в$s_2$.

Используя теорему о пересекающихся хордах, мы имеем

$$\begin{align} pz\cdot ps_1 & = px\cdot py &\text {(power of $p$ in $G$)} \\ & = pu\cdot pw &\text {(power of $p$ in $R$)} \\ & = pz\cdot ps_2 &\text {(power of $p$ in $B$)} \\ \end{align}$$

Затем$ps_1=ps_2$и поэтому$s_1=s_2=s$