Изменение давления из-за вентилятора, удаляющего воздух из негерметичного помещения.

Сегодня у меня возникла следующая проблема:

Предположим,$100\mathrm{cfm}$вентилятор выталкивает воздух из большой комнаты, которая герметична, за исключением$10 \mathrm{cm}^2$дыра. Давление воздуха снаружи помещения равно$101.3\mathrm{kPa}$, а атмосфера состоит из$80\%$азот и$20\%$кислород. Все температуры$300\mathrm{K}$. Каково равновесное давление внутри помещения?

Я считаю, что дал достаточно информации, чтобы определить результирующее давление. Я склоняюсь к наивному статистико-механическому подходу к проблеме. Это наводит меня на следующий ход мыслей:

• Частицы распределяются равномерно внутри и снаружи помещения, в кубическом метре содержится$N_i=\frac{P_i}{k_BT}$и$N_o=\frac{P_o}{k_BT}$молекул соответственно, где$P_i$давление внутри и$P_o$давление снаружи.
• Скорости распределяются симметрично, а скорости удовлетворяют распределению Больцмана, поэтому для фиксированного типа молекулы$M$распределение$v_z$,$z$-координата квадрата скорости, равна $$D_M(v_z)=\int_{S^2}\mathrm{exp}\left(\frac{-m_Mv_z^2}{2k_BT\cos\theta^2}\right)\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\phi$$ где$m_M$это масса молекулы$M$.
• Количество молекул$M$которые поражают область$A$через некоторое время$t$изнутри есть $$\int_0^\infty Ax_MN_i\int_{d/t}^{\infty} D_M(v_z)\mathrm{d}v_z\mathrm{d}d$$ где$d$обозначает расстояние вдоль$z$-ось молекулы от площади и$x_M$обозначает долю всех молекул,$M$. Точно так же количество молекул$M$которые поражают область$A$через некоторое время$t$снаружи есть $$\int_0^\infty Ax_MN_o\int_{d/t}^{\infty} D_M(v_z)\mathrm{d}v_z\mathrm{d}d.$$
• Разница между ними, суммированная для кислорода и азота, должна быть равна числу молекул$M$удаляется вентилятором, который$.0472\cdot N_it$.

Таким образом, у нас есть

$$.0472\cdot N_it=A(N_i-N_o)\int_0^\infty \int_{d/t}^{\infty} \left(x_{N^2}D_{N^2}+x_{O^2} D_{O^2}(v_z)\right)\mathrm{d}v_z\mathrm{d}d$$ так решение для $N_i$мы получаем $$\begin{align} N_i &=\frac{AN_o\int_0^\infty \int_{d/t}^{\infty} \left(x_{N^2}D_{N^2}+x_{O^2} D_{O^2}(v_z)\right)\mathrm{d}v_z\mathrm{d}d}{A\int_0^\infty \int_{d/t}^{\infty} \left(x_{N^2}D_{N^2}+x_{O^2} D_{O^2}(v_z)\right)\mathrm{d}v_z\mathrm{d}d-.0472t}\\ &=\frac{.1\mathrm{m}^2\cdot\frac{101.3\mathrm{kPa}\cdot \mathrm{m}^3}{1.38e-23 \mathrm{J}/\mathrm{K}\cdot 300\mathrm{K}}\int_0^\infty \int_{d/1\mathrm{s}}^{\infty} \left(.8D_{N^2}+.2 D_{O^2}(v_z)\right)\mathrm{d}v_z\mathrm{d}d}{.1\mathrm{m}^2\int_0^\infty \int_{d/1\mathrm{s}}^{\infty} \left(.8D_{N^2}+.2 D_{O^2}(v_z)\right)\mathrm{d}v_z\mathrm{d}d-.0472\mathrm{s}}\\ &=\frac{2.45e24 \mathrm{m}^{2}\int_0^\infty \int_{d/1\mathrm{s}}^{\infty} \left(.8D_{N^2}+.2 D_{O^2}(v_z)\right)\mathrm{d}v_z\mathrm{d}d}{.1\mathrm{m}^2\int_0^\infty \int_{d/1\mathrm{s}}^{\infty} \left(.8D_{N^2}+.2 D_{O^2}(v_z)\right)\mathrm{d}v_z\mathrm{d}d-.0472\mathrm{s}}\\ \end{align}$$ который я, вероятно, мог бы оценить с помощью Mathematica, если бы мой рабочий стол работал, но, к сожалению, это не так. Отсюда было бы тривиально вычислить $P_i$.

Мой вопрос заключается в том, правильны ли мои рассуждения до этого момента и есть ли какие-либо факторы, которые я упустил. Кроме того, есть ли более простой способ расчета$P_i$?