Понимание разработки Фейнманом закона идеального газа: Том I 39-2 Фейнмановских лекций по физике

В Фейнмановских лекциях по физике, том I 39-2 Давление газа представлено следующее:

Если в скорость атома, а в Икс это Икс -компонент в , затем м в Икс это Икс -компонент импульса в ; но мы также имеем равную составляющую импульса 0ut , поэтому полный импульс, сообщаемый поршню частицей при одном столкновении, равен 2 м в Икс , потому что он "отражается".

Теперь нам нужно количество столкновений, совершаемых атомами за секунду или за определенное время. д т ; то делим на д т . Сколько атомов столкнулось? Предположим, что существуют Н атомы в объеме В , или н "=" Н / В в каждой единице объема. Чтобы найти, сколько атомов попало в поршень, заметим, что за определенное время т , если частица имеет определенную скорость по направлению к поршню, она ударится за время т , при условии, что он находится достаточно близко. Если он слишком далеко, он проходит только часть пути к поршню за время т , но не доходит до поршня. Поэтому ясно, что только те молекулы, которые находятся на расстоянии в Икс т от поршня собираются ударить поршень в то время т . Таким образом, количество столкновений за время т равно числу атомов, находящихся в области на расстоянии в Икс т , а так как площадь поршня А , объем , занимаемый атомами, которые собираются ударить поршень, равен в Икс т А . Но количество атомов, которые попадут в поршень, равно этому объему, умноженному на количество атомов в единице объема. н в Икс т А . Конечно, мы не хотим, чтобы число, которое попало за раз т , нам нужно число попаданий в секунду, поэтому делим на время т , получить н в Икс А . (На этот раз т можно сделать очень коротким; если мы чувствуем, что хотим быть более элегантными, мы называем это д т , тогда дифференцируй, но это одно и то же.)

Итак, мы находим, что сила

Ф "=" н в Икс А × 2 м в Икс . ( 39,3 )

Видите ли, сила пропорциональна площади, если мы сохраняем фиксированную плотность частиц при изменении площади! Тогда давление

п "=" 2 н м в Икс 2 . ( 39,4 )

Теперь мы замечаем небольшую проблему с этим анализом: во-первых, все молекулы не имеют одинаковой скорости и они не движутся в одном и том же направлении. Итак, все в Икс 2 бывают разные! Итак, что мы должны сделать, это, конечно, взять среднее значение в Икс 2 так как каждый вносит свой вклад. Нам нужен квадрат в Икс , усредненное по всем молекулам:

п "=" н м ⟨ в Икс 2 ⟩ . ( 39,5 )

Мы забыли включить фактор 2? Нет; из всех атомов только половина направляется к поршню. Другая половина движется в другую сторону, поэтому количество атомов в единице объема , ударяющих о поршень , равно н / 2 .

Пока я принимаю результат, я не понимаю его развития. В частности, что подразумевается под «объемом» в Икс т А ? Этот том вводится с молчаливым (и неверным) предположением, что все в Икс равны. Предположение, которое впоследствии отвергается. Но смысл в Икс т А с точки зрения тонкого понимания в Икс специфичность для каждого атома никогда не проясняется.

Знакомство с обозначениями Δ В Икс "=" в Икс т А ; Я не нашел способа прийти к рекламируемому результату ( 39,5 ) используя половину среднего Икс -компонент скорости для установления правильного значения Δ В Икс . Например:

1 2 н ⟨ | в Икс | ⟩ А × 2 м ⟨ | в Икс | ⟩ "=" А н м ⟨ | в Икс | ⟩ 2 ≠ А н м ⟨ в Икс 2 ⟩ .

Результат ( 39,5 ) может быть установлено с помощью альтернативного развития, которое определяет количество столкновений в единицу времени, учитывая, сколько раз любая конкретная частица пройдет через Икс -размер ящика единичного объема в дальнюю сторону, а затем обратно во времени т . Но мне интересно узнать, можно ли понять подход Фейнмана.

В предположении, что значение в Икс специфичен для каждого атома, какой объем, соответствующий вышеизложенному, Δ В Икс "=" в Икс т А , следует использовать для определения числа столкновений в единицу времени атомов газа с поршнем?

Ответы (1)

Что ж, первое, что я хотел бы сказать, это то, что вы ожидаете слишком много строгости от демонстрации полумахания руками, такой как эта.

Во всяком случае, вы можете утверждать, что вы ожидаете распространения | в Икс | иметь небольшую (относительную) дисперсию, т.е.

⟨ | в Икс | 2 ⟩ − ⟨ | в Икс | ⟩ 2 ⟨ | в Икс | ⟩ 2 "=" ⟨ | в Икс | 2 ⟩ ⟨ | в Икс | ⟩ 2 − 1 ≪ 1

Теперь, конечно, в принципе вы не знаете, разумно ли это. Если вы на самом деле используете распределение Максвелла-Больцмана, вы обнаружите, что

⟨ | в Икс | 2 ⟩ ⟨ | в Икс | ⟩ 2 − 1 "=" ( к Т м ) ( π м 2 к Т ) − 1 "=" π 2 − 1 ≈ 0,57

Так что дела обстоят не так хорошо, но и не так уж плохо (мы получили число меньше, чем 1 , но ненамного...).

В конце концов, я бы сказал, что вы правы, полагая, что в этом доказательстве слишком много размахивания руками. Вероятно, как это часто бывает в таких грубых оценках, происходит какая-то случайная отмена ошибок: вы завышаете значение чего-то, но занижаете значение чего-то другого и в итоге получаете правильный результат. Это постоянно происходит в физике (посмотрите, например, на модель проводимости Друде или на теорию полимеров Флори).

Обратите внимание, что вывод, который вы можете найти, например , в Википедии , немного отличается от вывода Фейнмана. Принципиальное отличие состоит в том, что Фейнман оценивает количество столкновений в секунду. ф как

ф "=" н В ( Δ т ) Δ т

Проблема заключается в использовании В ( Δ т ) , который, как вы указали, можно разумно оценить только с использованием средних величин:

В ( Δ т ) "=" А ⟨ | в Икс | ⟩ Δ т

В выводе Википедии сделаны более строгие допущения: коробка представляет собой куб длины л .

Вместо оценки ф используя этот "средний объем" В ( Δ т ) , просто утверждается, что частота столкновений равна

ф "=" Δ т − 1 "=" в Икс 2 л

где Δ т это время, которое требуется частице, чтобы перейти от одной стороны ящика к другой, двигаясь в Икс направление.

Тогда сила рассчитывается как

Ф "=" ф Δ п "=" в Икс 2 л ⋅ 2 м в Икс "=" м в Икс 2 л

Поскольку два в Икс которые появляются в предыдущей формуле, относятся к одной и той же молекуле , нет ⟨ | в Икс | ⟩ вступает в игру, и мы можем с уверенностью сказать, что после усреднения по всем молекулам средняя сила будет

⟨ Ф ⟩ "=" м ⟨ в Икс 2 ⟩ л

Обратите внимание, что в этом случае нам даже не нужно делать поправку на множитель 2 что следует из рассуждений Фейнмана. Таким образом, мы получаем «правильный» результат без какой-либо двусмысленности в отношении ⟨ | в Икс | ⟩ 2 против ⟨ в Икс 2 ⟩ . Однако цена, которую приходится платить, заключается в том, что нам пришлось ввести дополнительное предположение.

Фейнман сказал, что в некоторых частях лекций были серьезные ошибки. Я предполагаю, что Vol 1, 39 является примером. Он прыгал с шестом из-за слишком большого количества деталей (IMO). Не так уж сложно дать более строгий вывод маханием рукой, который сохраняет честность математики. Я предполагаю, что он стремился к некоторому интуитивному пониманию, которое может быть неочевидным из более традиционного изложения.
@StevenHatton Я бы не назвал этот вывод существенно ошибочным ... Он имеет очень хорошую ценность как интуитивное объяснение и дает правильный ответ с помощью достаточно логического аргумента. Обратите внимание, что есть немного разные производные (такие как этот ), в которых использование ⟨ в Икс 2 ⟩ вводится, как мне кажется, более ясным образом, но с некоторыми дополнительными предположениями, такими как кубическая форма и частицы, отскакивающие от стенок перпендикулярно.
@StevenHatton Я добавил в ответ еще несколько деталей, чтобы показать, в чем аргумент Фейнмана отличается от обычного.
Я не думаю, что нам нужно молчаливое предположение, что мифические частицы движутся параллельно краям мифического кубического ящика объема. В "=" л 3 . Результат останется прежним, если мы заполним мифический ящик реальными частицами, вычисленными с использованием компонентов скорости, параллельных краям. Фейнман мудро отмечает, что аксиоматический подход к теплофизике бесполезен. Искусство состоит в том, чтобы отделить первичные аспекты проблемы от аспектов, которыми можно пренебречь при детальной оценке курса. OTOH, нам нужно отслеживать, какую ложь мы сказали себе, чтобы получить полезные результаты.
@StevenHatton Вы правы, им не нужно двигаться параллельно стенам ... мой плохой. Я исправил ответ. Тем не менее, я все же считаю, что эти два происхождения немного отличаются.
Между прочим, я посмотрел учебник Аткинса по физической химии, и он сделал почти то же самое, что и Фейнман. Это может показаться дерзким и высокомерным с моей стороны, но я считаю, что и Фейнман, и Аткинс по существу не правы. Ваша альтернатива превосходит их махание рукой. Посмотрите здесь: hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hframe.html
Лучшая ссылка, чем та, что в предыдущем комментарии: hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/Kinetic/kinthe.html#c3 .
Понимание разработки Фейнманом закона идеального газа: Том I 39-2 Фейнмановских лекций по физике
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v