Связь между уравнениями мастера, Фоккера-Планка, Ланжевена, Крамерса-Мойяля и Больцмана

  1. Я ищу связь между четырьмя важными уравнениями, которые мы изучаем в стохастических процессах в физике. Эти уравнения включают уравнения Мастера, Фоккера-Планка, Ланжевена, Крамерса-Мойяля и Больцмана.

  2. Также я хочу знать, когда мы можем использовать каждый из них?

  3. Другими словами, каковы граничные условия или ограничения каждого из них?

  4. Вы представляете какую-либо статью или книгу об этом?

Поскольку я недавно начал изучать стохастическое поле в физике, я надеюсь, что вы можете помочь мне найти ответы на мои вопросы.

Ответы (1)

Этот вопрос слишком велик, для ответа на него написаны целые учебники. Стандартным справочником является Ван Кампен, Стохастические процессы в физике и химии.

Грубо говоря, для марковского процесса

Основное уравнение -> разложение Крамерса-Мойяля -> уравнение Фоккера-Планка

где основное уравнение дает микроскопическое вероятностное правило для переходов в некотором конфигурационном пространстве, а уравнение Фоккера-Планка является соответствующим уравнением для вероятностей одиночных частиц.

Уравнение Ланжевена представляет собой простое уравнение стохастической модели, предназначенное для получения того же уравнения ФП, что и основное уравнение. Уравнение Больцмана живет в большем пространстве (фазовом пространстве) и не является стохастическим, но снова разработано так, что линеаризованное уравнение Больцмана эквивалентно FP.

[Это звучит так, как будто уравнение Больцмана — это просто своего рода модельное уравнение. Это неправильно. Существует отдельный путь к уравнению Больцмана, начиная с классического уравнения Лиувилля, или квантового уравнения фон Неймана, или квантового уравнения Каданова-Бейма.]

Спасибо за ответ, дорогой Томас. Я изучу предложенную вами книгу. Из вашего ответа я понял, что у нас есть две отправные точки: основное уравнение, которое представляет собой обобщенное уравнение Фоккера-Планка и имеет стохастический подход, и уравнение Больцмана, которое имеет детерминистский подход. Это правда? при каких приближениях или условиях мы можем перейти от экв. Больцмана к экв. Фоккера Планка или наоборот? Это возможно?
1) Я бы не назвал основное уравнение обобщенным уравнением ФП. Основное уравнение является стохастическим, а FP - нет. Я бы рассматривал master->FP как обычный переход от микроскопических уравнений к макроскопическим. 2) BE действительно детерминирован (как и FP), но (как и основное уравнение) содержит больше информации. Вы можете вывести FP из линеаризованного BE, но не наоборот.
Спасибо за ваше детство. Я немного запутался! 1- Какие приближения мы должны применить к основному эквалайзеру, чтобы получить эквалайзер fokker planck? Другими словами, при каких условиях мы можем использовать эквалайзер fokker-planck вместо основного эквалайзера. это мой самый главный вопрос? 2- является ли Крамерс-Мойал обобщенной формой фоккер-планка? 3-Если планка Фоккера является переходной формой, то каково окончательное уравнение для обработки макроскопического состояния? 4- какие основные уравнения для рассмотрения случайных процессов в физике?
1) Расширение Kramers-Moyal можно использовать для получения FP из основного оборудования. 2) Крамерс-Мойал предлагает иерархию уравнений типа ФП. Уравнение ФП для вероятности одиночной частицы является первым в этой иерархии. 3) ФП — это уже макроскопическое уравнение. Вы можете пойти более макроскопически, используя гидродинамическое уравнение, такое как уравнение диффузии. 4) Не уверен, что вы спрашиваете. Если хотите, отправной точкой является стандартная модель физики элементарных частиц. все остальное следует.
большое спасибо. скажите, пожалуйста, для каких физических процессов мы можем использовать каждое из этих уравнений (а именно Больцмана, Фоккера-Планка и т. д.) и в каких процессах мы не можем их использовать.
Связь между уравнениями мастера, Фоккера-Планка, Ланжевена, Крамерса-Мойяля и Больцмана
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v