Изменяет ли искривленное пространство-время объем пространства?

В подобном вопросе вам нужно спросить, относительно чего изменяется громкость. Так что это немного двусмысленно.

Однако ответ на ваш вопрос «да» в следующем ограниченном смысле.

Представьте себе «рой» тестовых объектов, масса которых настолько мала, что их влияние на пространство-время вокруг них незначительно. Предположим, что они находятся в свободном падении, т.е. все следуют геодезическим пространствам-временям. Рой имеет объемную форму; давайте предположим, что это сфера, и что их геодезические пути проходят через пространство-время с различной кривизной. Давайте также предположим, что наши космические пчелы подают сигналы своей королеве, чтобы она могла в любое время определить свое расстояние до своих собратьев.

Тогда, как правило, королева обнаружит, что расстояние до ее собратьев изменяется в соответствии с уравнением геодезического отклонения (см. также Misner, Thorne and Wheeler, «Gravation», Chapter 1, для отличного интуитивного объяснения). Так она воспримет изменение объема своего роя.

Действительно, существует тензорный объект, основное значение которого состоит в изменении объема. Если записать координаты роя королевы в нормальных координатах Римана (см. также Misner Thorne Wheeler, раздел 11.6), в соответствии с чем положение чего-либо названо путем обозначения вектора направления (касательного вектора к пространству-времени) и расстояния вдоль этого вектора. , то элемент объема$\mathrm{d} V$, по сравнению с элементом объема$\mathrm{d} V_f$можно было бы вычислить, предполагая плоское пространство-время, определяется тензором кривизны Риччи:

Действительно, можно «разложить» полный тензор кривизны на выражения, включающие тензор Риччи и так называемый тензор Вейля. Первый измеряет, как изменяется объем нашего роя, второй подробно рассказывает нам, как форма роя меняется по мере его свободного падения.

Вас также может заинтересовать глава 42 тома II под названием «Искривленное пространство » «Фейнмановских лекций по физике».

Я могу ответить на некоторые из них, и таким образом, чтобы они имели инвариантный общерелятивистский смысл. Однако не общий ответ. Вы должны и можете трактовать кривизну и некоторые меры объема инвариантно.

Есть два вопроса. 1) Имеют ли отрицательные/положительные кривизны больший объем, чем некоторое (в некотором смысле) эквивалентное пространство-время без кривизны? И 2) Чем больше плотность энергии в пространстве-времени, тем больше положительная или отрицательная кривизна? Я расскажу об обоих.

Для космологических пространств-времен, т.е. однородных и изотопических, положительная кривизна имеет конечный объем (самая простая топологическая возможность состоит в том, что гиперповерхности пространства (т.е. Объемы) являются трехмерными сферами). Пространства с отрицательной и нулевой кривизной имеют бесконечный объем, они открыты и бесконечны. У него есть какое-то общее применение, потому что эти пространства-времени имеют постоянную кривизну.

Если бы вы добавили больше материи (или, правильнее сказать, если бы плотность материи была выше расчетной), кривизна стала бы более положительной. Если меньше, то больше негатива.

Таким образом, можно было бы сказать, что больше материи меньше объема, меньше материи больше объема.

В более общем случае отрицательная кривизна имеет тенденцию к расхождению геодезических и, таким образом, открывает больше пространства. См. ссылку на

https://amathew.wordpress.com/2013/01/04/volume-growth-and-negative-curvature-i/

Тем не менее, я не видел общего подхода, кроме довольно симметричного пространства-времени, и есть некоторые опасения, что энергия, которую вы должны использовать, чтобы «опустить» массу из бесконечности в некоторый объем, вызывает введение отрицательной (потенциальной) энергии, энергии необходимо вывести его на бесконечность. Так что интуитивно нужно быть осторожным

Это правда, например, в следующей ссылке,

http://burro.cwru.edu/Academics/Astr330/Lect02/volume.html

что объем пространства на физическом расстоянии (рассчитанный с использованием метрики, взвешивающей координатные расстояния) в космологическом пространстве-времени выше для отрицательных кривизн, чем для плоских пространств, и оба больше, чем положительные кривизны

Следующий вопрос заключается в том, делает ли материя или энергия пространство-время (или его части) более положительно искривленным или менее. Даже в нашей Вселенной, если бы не было космологической постоянной, материя плюс плотность излучения меньше определенной величины сделали бы Вселенную открытой, а объем бесконечным. А пустое пространство-время может иметь положительную, плоскую или отрицательную кривизну, поэтому наличие большего или меньшего количества материи не является определяющим.

Для других геометрий существуют различные величины, которые можно использовать для измерения кривизны, где имеется ряд инвариантов кривизны. Решение Шварцшильда (для сферически-симметричного пространства) имеет кривизну (определяемую как в https://en.m.wikipedia.org/w/index.php?title=Kretschmann_invariant&redirect=no , инвариант Кречмана), которая увеличивается по мере увеличения квадрат массы, и который положителен. Таким образом, чем больше масса, тем выше кривизна. Но заметьте, что в этом случае чем выше масса, тем больше эквивалентный радиус Шварцшильда, а если это была Черная Дыра, тем больше ее горизонт и площадь горизонта.

Существуют и другие зависимости, в которых задействованы другие части тензора энергии напряжения, в том числе напряжение, импульс и давление. Решить уравнения Эйнштейна в ящике непросто (или возможно, кроме как численно?). Однако есть общие результаты просто из определения тензоров Римана и Риччи, что нормированная (по объему) скорость изменения скорости изменения объема (т.е. двойная производная по времени) пропорциональна минус сумма плотности энергии и давления. Таким образом, если они обычно увеличиваются, для этих несколько простых случаев изменение объема будет уменьшаться по мере того, как

$\ddot{V}$/V = -{плотность энергии + давление}

В метрике Шварцшильда объем меняется.

Это прямоугольник, образованный радиальным размером и временем, который является инвариантным: расширяющий эффект метрики Шварцшильда.

по сравнению с соответствующей плоской метрикой

влияет только на радиальное направление$\mathrm dr$и время$ct,$остальная геометрия($\theta$а также$\varphi$) остается неизменной.

Вы можете легко видеть, что фактор, по которому$\mathrm dr$умножается на тот же множитель, на который$c~\mathrm dt$поделен. Фактор

равно гравитационному замедлению времени.

Как следствие, прямоугольник, образованный радиальным измерением и временем, сохраняет свою поверхность в геометрии Шварцшильда.

Если вы теперь рассмотрите дополнительные измерения, вы увидите, что объем пространства-времени должен был измениться. Если вы добавите, например, одно измерение, получив цилиндр, 3D-объем будет$\pi r^2 t$, это означает, что уменьшенный радиальный размер r появляется в квадрате, в то время как размер времени остается прежним.

Хорошо, я не могу показать математику, но все, что вы пытаетесь поместить в коробку, само будет искривляться/растягиваться/сжиматься вместе с пространством. Таким образом, вы не сможете поместить в одну коробку больше вещей, чем в другую того же размера. Даже говоря, что одинаковый размер подразумевает пространство и его искривление. Таким образом, даже ваша коробка будет изогнутой, поскольку нет ничего, что не изгибалось бы вдоль пространства. Между этими двумя случаями будет только одно различие, и оно дано в вашем вопросе — различие между массой и гравитацией.

Подумайте о том, чтобы поместить больше вещей в коробку, находясь внутри сильного гравитационного поля. Теперь переместите полную коробку в менее интенсивное гравитационное поле. Он собирается взорваться? Вещь вытечет?

Да, искривленное пространство-время изменяет объем пространства. Когда пространство искривлено массой, оно растягивается в одних измерениях больше, чем в других. Представьте себе воздушный шар, который растягивают или сжимают — его объем меняется.