Как быстро (относительно) маленькая черная дыра поглотит Землю?

В LHC речь идет о мини-черных дырах массой около$10^{-24}kg$, поэтому, когда вы говорите о$10^{15}-10^{20}kg$вы говорите о чем-то в диапазоне от массы Деймоса (самого маленького спутника Марса) до$1/100$масса Луны. Итак, мы говорим о чем-то действительно большом.

Радиус Шварцшильда такой черной дыры (используя$10^{20}$значение) будет

Мы можем рассматривать этот радиус как меру поперечного сечения, которую мы можем использовать для расчета скорости, с которой ЧД наращивает массу. Таким образом, аккреция будет типом аккреции Бонди (сферическая аккреция), которая даст скорость аккреции

куда$u$— типичная скорость, которая в нашем случае была бы скоростью звука и$\rho_{earth}$- средняя плотность недр земли. Скорость звука в недрах Земли можно оценить в среднем как

Итак, скорость аккреции

Это оценка порядка величины, которая дает что-то вроде$\dot{M}=1.7\times10^{-6}kg/s$. Если мы примем это за чистую монету, это займет что-то вроде$10^{23}$лет для срастания ЧД$10^{24}kg$. Если мы учтем изменение радиуса ЧД, это время, вероятно, будет намного меньше, но даже тогда оно будет намного больше, чем возраст Вселенной.

Но это не вся картина. Следует также принять во внимание возможность иметь меньшую скорость аккреции из-за предела Эддингтона. По мере аккреции материи к ЧД она нагревается, так как гравитационная потенциальная энергия переходит в тепловую энергию (теорема вириала). Вещество тогда излучает с некоторой характерной светимостью. Излучение оказывает некоторую обратную силу на вещество, которое аккрецируется, снижая скорость аккреции. В данном случае я не думаю, что этот конкретный эффект играет какую-либо роль в эволюции ЧД.

Этот вопрос рассмотрен у Гиддингса и Мангано, http://arxiv.org/abs/0806.3381 . См. уравнение 4.31 и приложение А. Для$10^{20}$кг черной дыры, скорость аккреции получается около$10^{13}$кг/с.

Это больше, чем оценка в ответе Вагельфорда, в несколько раз.$10^{18}$. Причина этого фактора в том, что Гиддингс по существу использует уравнение Бернулли для моделирования массового потока, и в этой модели масса не просто втекает со скоростью звука.$c_s$до тех пор, пока не достигнет горизонта событий. Если я правильно понимаю суть расчета, масса течет со скоростью звука до тех пор, пока не достигает определенного радиуса, который больше радиуса Шварцшильда в раз.$(c/c_s)^2$. Даже не вдаваясь в детали расчета, в этом есть смысл. Падающая материя будет двигаться с релятивистскими скоростями,$\sim c$, по мере приближения к горизонту, а не на$c_s$. Они называют этот эффективный радиус радиусом Бонди, и разница между их оценкой и оценкой Вагельфорда в основном заключается в том, что они используют этот радиус, а Вагельфорд использует радиус Шварцшильда. Это приводит к тому, что скорость их аккреции превышает оценку Вагельфорда в 3 раза.$(c/c_s)^4$, или около$10^{18}$.

Используя результат Гиддингса, черной дыре требуется несколько лет, чтобы удвоить свою массу. Я не интегрировал соответствующее дифференциальное уравнение, но, поскольку скорость равна квадрату массы черной дыры, похоже, что пройдет всего несколько десятилетий, прежде чем черная дыра поглотит значительную часть массы Земли. (Возможно, он не поглотит все это из-за сохранения углового момента, выброса некоторой массы и других астрофизических процессов, которые происходят ближе к концу, где структура Земли серьезно нарушена.)

Поскольку у меня есть гораздо лучший ответ от Вагельфорда, я напишу свою собственную версию.

Когда материя падает на черную дыру, она дробится и излучает. Насколько я знаю (поправьте меня, если я ошибаюсь), можно оценить излучаемую энергию как$\simeq 0.05mc^2$. Где$m$- масса падающего вещества.

Вещество Земли притягивается гравитацией черной дыры и отталкивается излучением. Кроме того, для потока вещества$J$у нас есть система «отрицательной обратной связи»:

• больше$J$-> больше излучения -> больше материи "отталкивается"
• меньше$J$-> меньше излучения -> больше материи "втягивается"

Равновесие между этими силами соответствует уже упомянутой эддингтоновской светимости :
$L (J/s) = 1.3\cdot 10^{21} \frac{M}{M_{sun}}$

Приравнивание$L=0.05Jc^2$и собираюсь$r_{sh}(m) = 3000 \frac{M}{M_{sun}}$, я получаю:

$J (kg/s) = 100 r_{sh}(m)$

Примечательно, что «скорость потребления» для$10^{20} kg$черная дыра ($r_{sh} = 148.5\mu m$, смотри сюда ) дам тебе$1.48\cdot10^{-5}$кг/с. Что всего на порядок больше оценки Вагельфорда.

Если черная дыра просто проглотила материю и не потеряла никакой энергии, вероятно, это не слишком сложный расчет, просто предположим, что Земля представляет собой неподдерживаемую массу, которая падает в ЧД, масса которой растет по мере добавления большего количества вещества. Проблема в том, что мы знаем, что это не так, и некоторая значительная часть проглоченной массы будет высвобождаться в виде энергии, может быть, от одного до нескольких процентов mC**2. Таким образом, энергия, высвобождаемая при поглощении массы, на порядки больше на единицу массы, чем у водородной бомбы. Ясно, что большая часть массы планет была бы унесена ветром, и лишь небольшая часть в конечном итоге вошла бы в состав ЧД. Могу поспорить, что это произойдет очень быстро, и ударная волна, которая разорвет планету на части, вероятно, займет всего несколько секунд. Обратите внимание, что время свободного падения до центра Земли, вероятно, больше похоже на полчаса (порядок величины).

Это займет много времени, если мы проведем обратный расчет конверта.

• черная дыра будет оказывать силу в 1 г на расстоянии около 20 км (при массе 10 ^ 20 кг).
• если мы можем разумно предположить, что масса внутри этой сферы будет быстро поглощаться, это будет означать, что масса черной дыры соответственно увеличивается.
• с другой стороны, эта дополнительная масса также может составлять около 10 ^ 20 кг. Таким образом, мы можем ожидать, что радиус в 1 г не увеличится значительно.
• Я полагаю, что масса с притяжением менее 1 грамма потребует длинного стержня, чтобы закрутиться внутри черной дыры, поскольку ее размер (радиус Шварцшильда) будет измеряться в микрометрах, а размеры - в километрах.

Надеюсь это поможет!

Я просто хочу добавить, что колебания вокруг центра Земли гасятся за счет импульса входящей массы.

Цифры объема массы, постоянно поглощаемой черной дырой, отличаются на порядки от предыдущих постеров. Но потребляемый материал по мере его падения будет зависеть от поперечного сечения этого объема, умноженного на радиус Земли, или от поперечного сечения, умноженного на плотность для линейной массовой плотности пути разрушения.

Эта материя имеет нулевую кинетическую энергию и потенциальную энергию как функцию высоты. Гравитационное поле прямо пропорционально радиусу (из-за непрерывного сферического распределения), поэтому потенциальная энергия$r^2$функция. Я пишу гравитационный потенциал ЧД как$C R^2 m$где R — радиус Земли, m — масса (кг) ЧД, а C — некоторая константа, которую я не буду рассматривать. Обозначим линейную плотность пути разрушения как$l$(кг/м), и интегрировать$C r^2$возможность найти$1/3 C R^3 l$к центру Земли или$2/3 C R^3 l$на другую сторону Земли.

Предположим, что он отлично ест материал и нет никаких других взаимодействий. Это начинается с$C R^2 m$энергия (ньютоновская!) и масса m. Он приобретает$2 l R$массы за одну поездку (при условии, что приобретенная масса мала по сравнению с общей и, таким образом, снова почти касается поверхности). Находим дефицит удельной потенциальной энергии в конце его пути: (PE_end/end_mass) / (PE_start/start_mass)-1.

куда$\alpha = R l/m$безразмерный параметр, представляющий долю исходной массы, добавляемой за поездку.

Мы предполагаем$\alpha \ll 1$и Тейлор расширяются в$\alpha=0$найти

Удельный дефицит энергии после одной поездки$= -4/3 \alpha$

Глядя внимательнее на альфу, напишите$\alpha = R A \rho/m$, где A — площадь поперечного сечения, о которой я говорил, а rho — плотность Земли.

$\alpha = 2 R l/m = 2.56 \times 10^{-13}$(доля массы ЧД, накопленная за полпути, звучит хорошо)

Для изменения высоты из-за поездки используйте mgh приблизительно и найдите

В конце поездки он падает на 2,18 микрометра ниже. Теперь это напрямую зависит от съеденной площади и, следовательно, от квадрата радиуса захвата материала. Чтобы получить коэффициент 1e6, для этого радиуса потребуется 10 метров против 1 см.

Таким образом, демпфирование действительно НЕБОЛЬШОЕ, и судьба Земли будет определяться тем, как она поедает материю, путешествуя на высоких скоростях через ядро. Сейчас я собираюсь рассказать людям, что причина, по которой БАК находится под землей, заключается в том, чтобы ЧД не выскочила на поверхность в случае аварии. Я люблю распространять дезинформацию.

Редактировать: это был мой первый ответ по физике SE, поэтому я вернулся и поместил уравнения в правильный формат, хотя организация ответа, вероятно, отражает его причудливую историю.

Черная дыра массы$10^{20}$килограмм не так опасен, как может показаться. это$10^{28}$Планковские массы, поэтому радиус равен$10^{28}$Планковские длины или$10^{-7}$метров. Гравитационное ускорение вблизи его горизонта событий равно$10^{-10}\times 10^{20} / 10^{-14}$который$10^{24}$метров в секунду в секунду. Даже в метрах от горизонта черной дыры ускорение достигает ускорения Земли на поверхности. В сантиметрах от горизонта черной дыры ускорения хватило бы, чтобы разорвать материю.

Черная дыра, очевидно, попытается найти минимум гравитационного потенциала, создаваемого Землей, поэтому она будет сидеть и в конечном итоге стабилизироваться в центре Земли (и колебаться вокруг него). Если бы центр Земли представлялся твердым, я считаю правдоподобным, что черная дыра разорвется и поглотит какое-то вещество, находящееся в нескольких метрах от черной дыры микрометрового размера. А остальная твердая Земля могла бы просто сидеть без дела.

Однако это явно не то, что могло бы произойти, потому что центр Земли жидкий из-за огромного давления. Жидкие металлы из нескольких метров вокруг черной дыры будут просто течь в черную дыру с разумной скоростью. Черная дыра выпьет много этой жидкости, и ее плотность уменьшится в большей части ядра Земли. Сомнительно, смогут ли твердые слои планеты выдержать такое пониженное давление. Я могу представить, что черная дыра действительно может находиться внутри Земли и медленно пить жидкое железо.

С другой стороны, мы точно знаем, что это не то, что обычно происходит внутри небесных тел, потому что это также происходит и внутри газовых планет, которые могут быть полностью поглощены за относительно короткое время, производя большое вращение по пути.