Как доказать, что плоское пространство-время допускает координаты Минковского?

Это нетривиальная теорема (полу)римановой геометрии, основанная на теореме Фробениуса : если тензор Римана везде равен нулю, то каждая точка принадлежит локальной карте, где метрика имеет стандартную постоянную диагональную форму.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Идея доказательства состоит в следующем. Один ищет векторные поля$X$такой, что

$$\nabla X =0\:.$$ В координатах $x^1,\ldots, x^n$, это приводит к уравнению первого порядка для компонент $X$.

Далее, глядя на найденное уравнение и используя условие$Riemann =0$везде записывается через коэффициенты связи, теорема Фробениуса для УЧП первого порядка в$\mathbb R^n$доказывает, что в окрестности любой точки$p\in M$, существуют такие$X$удовлетворяющий$X(p) = Z_p$куда$Z_p\in T_pM$произвольно фиксируется.

Итак, можно построить$n= \dim(M)$векторные поля$X_{(k)}$,$k=1,\ldots,n$в районе$U$из$p$такой, что$\nabla X_{(k)}=0$и$X_{(k)}(p) = Z_{(k)p}$. Поскольку скалярное произведение сохраняется (из$\nabla X_{(k)}=0$и то, что связь метрическая), если$g_p(Z_{(k)p}, Z_{(h)p})= \eta_{kh}$, у нас есть это$g(X_{(k)}, X_{(h)})= \eta_{hk}$ постоянно включен$U$.

Наконец, нужно искать координаты$y^a= y^a(x^1,\ldots,x^n)$вокруг$p$такой, что

$$X_{(k)}= \frac{\partial}{\partial y^k}\:.$$ Записав это уравнение в координатах $x^1,\ldots, x^n$, применяя еще раз теорему Фробениуса, можно доказать, что эти локальные координаты действительно существуют вокруг $p$. Таким образом, дальнейшее сокращение $U$вокруг $p$мы получаем систему координат $y^1,\ldots,y^n$покрывая его, где метрика постоянна: $$g\left(\frac{\partial}{\partial y^k},\frac{\partial}{\partial y^h} \right)= \eta_{kh}\:.$$

Как правило, эта процедура не может создать глобальную диаграмму, где метрика постоянна. Существуют тривиальные контрпримеры, начинающиеся с пространства Минковского и предполагающие некоторые отождествления для получения плоского компактного тора. Это многообразие плоское, но его нельзя покрыть глобальной картой, иначе оно было бы диффеоморфно$\mathbb R^n$что не компактно.

На самом деле я не осознавал, что уже решил вторую «проблему» для случая Римана, но доказательство, безусловно, не распространяется на общий лоренцев. Однако я вполне уверен, что если у вас есть лоренцево многообразие$\mathcal M$которое можно записать как «произведение времени и пространства» (более строго как слоение),$\mathcal M = \mathbb R \times M$для риманова многообразия$M$(что обычно имеет место в физических приложениях), то доказательство, которое я приведу для римановых многообразий, должно быть перенесено на этот частный случай лоренцевых многообразий:

Наши предположения для риманинового случая будут следующими:

• $M$гладкое многообразие с исчезающей кривизной$Riem =0$то есть плоский и
• существует гомеоморфизм$f:M\to \mathbb R^{\dim M }$то есть топологически «тривиально» (так, в частности,$M$просто подключен).
• дальше буду считать что$M$является полным (т. е. каждый сходящийся ряд имеет предел в$M$).

Существует характеристика локально симметричных пространств с помощью тензора кривизны Римана (теорема Картана-Амброуза-Хикса):

$M$локально симметрична тогда и только тогда, когда$\nabla Riem =0$.

В нашем случае это выполняется тривиально. Кроме того, каждое односвязное полное локально симметричное пространство глобально симметрично. Следовательно,$M$является односвязным глобально симметричным пространством.

К счастью, существует классификация (классификация Картана) односвязных глобально симметричных пространств, которая гласит:

Позволять$M$— односвязное глобально симметричное пространство. Затем$M= M_0\times M_+ \times M_-$, куда$M_0$является евклидовым фактором и$M_\pm$является симметричным пространством компакта ($+$) и некомпактные ($-$) тип соотв. Кроме того, секционная кривизна$M_\pm$больше (соответственно меньше) или равно, но не тождественно равно 0.

Поскольку кривизна везде равна нулю, мы должны иметь$M_\pm = \emptyset$потому что в противном случае секционная кривизна$M_\pm$было бы тождественно равно нулю. Следовательно$M= M_0=\mathbb R^{\dim M}$ $\square$

Я думаю, что мой ответ согласуется с ответом Вальтера, но низкомерен.

Параллельный перенос сохраняет внутренние произведения векторов, а обращение в нуль тензора Римана гарантирует независимость пути параллельного переноса в любой локальной карте. Вы можете начать с ортонормированной тетрады и расширить локальную диаграмму и метрику Минковского из произвольного начала. Элементы метрического тензора определяются как попарные скалярные произведения базисных векторов в тетраде.

Чтобы расширить метрику глобально, используйте гомеоморфизм в/из${{R}^{4}}$индуцировать (возможно, криволинейную) систему координат, в которой каждый кортеж$(t,x,y,z)$соответствует точке вашего плоского пространства. Удобный путь для достижения любой точки$(t,x,y,z)=(as,bs,cs,ds)$с постоянными коэффициентами и параметрами, изменяющимися от 0 до 1. Этот путь тоже уникален, но ключом является существование.

Вкратце доказательство независимости от пути: аргумент основан на том факте, что любой путь из точки A в B гомотопен любому другому пути в евклидовом пространстве. «История» непрерывной деформации заметает двумерную поверхность, которую можно разбить на плакеты. Тензор Римана описывает изменение вектора в результате переноса вокруг бесконечно малой плакетки. Интегрируя маленькие нули, вы получаете большой ноль.

Построение координат Минковского: как только ортонормированная тетрада базисных векторов или 1-форм однозначно переносится на все пространство, мы можем построить четыре функции координат, выполняя интегралы по путям, такие как$\Delta t=\int{d\mathbf{x}\cdot \mathbf{u}}$, где u — 1-форма, представляющая градиент времени, а также для x, y, z. Результат не зависит от пути в соответствии с теоремой Стокса, потому что параллельный перенос гарантирует, что ковариантная производная и, следовательно, ротор u равен нулю.

Это долго делать.

Предположим, вы каким -то образом знаете , что пространство-время плоское. Если это так, символы Кристоффеля равны нулю.

Согласно критерию Эйнштейна, ковариантная производная метрического тензора должна быть равна нулю.

$$g_{\mu\nu;\alpha}=0$$

Но ковариантная производная — это нормальная производная минус два символа:

$$g_{\mu\nu;\alpha}\equiv g_{\mu\nu,\alpha} - \Gamma_{\mu\alpha}^{\ \ \rho} g_{\rho\nu} - \Gamma_{\nu\alpha}^{\ \ \rho} g_{\mu\rho}$$

Если символы равны нулю, то мы имеем только

$$0 = g_{\mu\nu,\alpha} - 0 - 0$$

поэтому производная метрического тензора равна 0, а метрический тензор не зависит от координат, он постоянен. Если вы диагностируете тензор и соответствующим образом масштабируете ось, вы можете получить диагональную матрицу$(-1, 1, 1, 1) \equiv \eta_{\mu\nu}$.