Локальная инерциальная система отсчета

Если$ds^2=\eta_{\alpha \beta}d \xi^{\alpha} d \xi^{\beta}$были верны для всех точек пространства, у нас не было бы кривизны, а значит, и гравитации!

Возьмем, к примеру, сферу (Землю), локально мы можем измерять расстояния с помощью$ds^2=dx^2+dy^2$, но это не может быть выполнено для двух произвольных точек на сфере. На самом деле эта система координат меняется от точки к точке (представьте касательную плоскость на сфере).

Нам пришлось бы заменить местные координаты, которые вы назвали$\xi^\alpha$(декартовы координаты$x$и$y$в данном случае) и заменить их некоторыми другими глобальными координатами, такими как углы$\theta$и$\phi$. (Обратите внимание, что нам все равно понадобятся патчи, чтобы покрыть всю сферу). Затем расстояние между двумя произвольными точками будет вычислено с использованием

Итак, кривизна — это то, что заставляет нас вводить$g_{\mu\nu}$и глобальные координаты$x^\mu$.

Локальная инерциальная система отсчета не будет видеть гравитацию и сможет использовать специальную теорию относительности, поскольку для небольшой области нет существенной кривизны. Продолжая аналогию с Землей, вы бы не оценили кривизну в несколько километров, но локальная область была бы намного меньше, чем весь участок. Обратите внимание, что любая карта мира (целый патч) будет иметь искажения из-за кривизны, но небольшая карта дорог не будет иметь никаких искажений.

В римановой геометрии есть красивая теорема, утверждающая, что многообразие с симметричной связностью локально плоско всюду тогда и только тогда, когда тензор кривизны равен нулю. Следовательно, в локально плоских координатах таких, что$\Gamma_{jk}^i=0$,$g_{ij}$постоянна на всей диаграмме, и линейное преобразование может использоваться для диагонализации метрики в плоскую метрику.$\eta_{ij}$. В этом и только в этом случае можно было бы использовать плоскую метрику на всей диаграмме.

Однако в общем случае это не так, потому что обычно тензор кривизны не обращается в нуль. Но все же возможно найти координату в точке$p$многообразия такое, что$g_{ij}(p)=\eta_{ij}(p)$пока тензор кручения равен нулю (что имеет место в ОТО). Это называется геодезическими координатами или нормальными координатами. Но это делается по-разному для каждой точки$p$и это не означает, что вторые производные метрики и, следовательно, кривизна равны нулю, и именно поэтому вы не можете распространить плоскую метрику на все многообразие (если кривизна не обращается в нуль). Помните также, что метрика, как тензор, не зависит от системы координат. Хотя его координаты$g_{ij}$переход от одного кадра к другому, абстрактный объект$g=g_{ij}dx^i\otimes dx^j$остается такой же.

$g_{\mu \nu}(x)$Значит это$g$является функцией местоположения ($x$) --- поэтому он варьируется в зависимости от коллектора, что является проблемой.

Я думаю, что если$g \ne g(x)$, то обязательно$g = \eta$... Надеюсь, кто-то еще может присоединиться к этому.

Позволять$\mathcal{M}$— пространственно-временное многообразие, локальные карты которого (открытые множества) описываются формулой$U_i$.

Локальная система координат$S_i$это карта$\xi\colon U_i\mapsto \mathbb{R}^N$такой, что$\xi(m) = (x_1,\ldots,x_N) \in \mathbb{R}^N, m\,\in U_i$. Пусть, кроме того,$g$быть$(0,2)$тензор ранга (метрика).

Заменой координат является любое гладкое обратимое отображение$f\colon U_i\mapsto U_j$. При такой карте элемент$\alpha$преобразования кокасательного расслоения как$\alpha'(x') = f_*(x)\alpha(x)$, с$f_*$быть откатом карты$f$.

Это может быть возможно, учитывая пару графиков$(U_i,U_j)$, найти$f$таким образом, чтобы новая метрика, рассчитанная в$U_j$будет пропорционально старому в$U_i$; однако, поскольку форма$f$сильно зависит от графиков и от точки, применяя ту же$f_*$к другому графику$U_k$может не сработать (на самом деле, карта$f$могут быть даже не определены на других диаграммах).

Линейные преобразования представляют собой совершенно особый случай, поскольку матрица Якоби не зависит от точки, так как после взятия производных зависимость от$x$исчезает. Это позволяет легко распространить их на все многообразие, тогда как при любой другой (нелинейной) замене координат это может быть невозможно.

Многообразия определяются так, что локально они выглядят как евклидово пространство; вот почему мы называем их гладкими многообразиями.

Риманова многообразие — это многообразие, локально обладающее некоторой структурой внутреннего произведения, т. е. способом измерения длины и углов.

Длины и углы являются инвариантами, поэтому они будут иметь инвариантное выражение в терминах локальной системы координат; а значит, и закон преобразования.

По сути, локально все, что вы делаете, — это линейная алгебра.