Почему градиент давления у стенки равен нулю?

Обычно это относится только к потоку, ограниченному стенкой, и обычно ограничивается несжимаемыми жидкостями. Этот результат обычно проявляется в теории пограничного слоя и может быть получен посредством анализа порядка величины уравнений Навье-Стокса. Уравнение стационарного, несжимаемого и постоянного свойства импульса в$y$направление принимает форму,

$$u \frac{\partial v}{\partial x} + v \frac{\partial v}{\partial y} = -\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial y} + \nu \left( \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2}\right)$$ Порядок величины каждого члена внутри пограничного слоя выглядит следующим образом: $$O\left[u \frac{\partial v}{\partial x}\right] = O\left[\frac{\delta}{L^2} U_e^2\right]$$ $$O\left[v \frac{\partial v}{\partial y}\right] = O\left[\frac{\delta}{L^2} U_e^2\right]$$ $$O\left[\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial y}\right] = O\left[\frac{\delta}{L^2} U_e^2\right] \text{(at most)}$$ $$O\left[\nu \frac{\partial^2 v}{\partial x^2}\right] = O\left[\frac{\delta^2}{L}\frac{\delta}{L^2} U_e^2\right]$$ $$O\left[\nu \frac{\partial^2 v}{\partial y^2}\right] = O\left[\frac{\delta}{L^2} U_e^2\right]$$

Где$\delta$– высота пограничного слоя,$L$- характерная длина тела, а$U_e$– скорость внешнего потока на границе пограничного слоя. Дополнительным ограничением является то, что$\delta/L \ll 1$. Обратите внимание, что каждый член имеет порядок величины, сравнимый с$(\delta/L^2) U_e^2$, за исключением нормального члена градиента давления и вязкого члена из$x$направление. Мы сначала признаем, что$\delta^2/L$является очень небольшим количеством и существенно удаляет$\nu \partial^2 v/ \partial x^2$член из уравнения. Точно так же только на краю пограничного слоя, где вязкие силы становятся пренебрежимо малыми (т.е. высокое число Рейнольдса), член градиента давления приближается по порядку величины$(\delta/L^2) U_e^2$. Впервые это заметил Прандтль, к которому он пришел через пограничный слой, который мы можем написать:

$$\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial y} \approx 0$$ или более условно, $$\frac{\partial p}{\partial y} \approx 0$$

Что касается вашего второго вопроса, это относится только к статическому давлению. Кроме того, все это предполагает, что поток прикреплен к стене.

Это происходит из понятия пограничного слоя и того, остается ли он прикрепленным к стене или нет. Если вы рассматриваете уравнение импульса, нормальное к стенке, единственный способ, которым может быть градиент давления, нормальный к стене, - это если есть скорость или ускорение, нормальное к стене. Если это так, то пограничный слой больше не прикреплен.

Это сохраняется, когда вы приближаетесь к стене бесконечно мало (ну, пока это все еще континуум). В какой-то момент поток прилипает к стенке, даже если это крошечный тонкий слой, поэтому в симуляциях градиент на стенке равен нулю. Если у вас есть правильное разрешение сетки, все в порядке.

Учитывая некоторые комментарии к этому вопросу, я подумал, что было бы полезно дать несколько более подробный ответ. Я начну с базового обзора некоторых математических элементов и закончу комментариями о подходах к численному решению задачи.

Замечания по математике несжимаемой задачи Навье-Стокса

Для упрощения я рассмотрю сценарий, в котором мы ограничиваемся двумерным несжимаемым потоком Навье-Стокса, описанным в декартовой схеме.$x_1$-$x_2$система координат. Поля скорости и давления$\mathbf u={\mathbf u}(\mathbf x,t)=(u_1,u_2)^T(x_1,x_2,t)$а также$p(\mathbf x,t)=p(x_1,x_2,t)$.

Я также буду предполагать, что наша задача имеет граничные условия Дирихле для скоростей всюду в квадратной области$\Omega=\{(x_1,x_2)\,\,\vert \,\,0\le x_1\le1,\, 0\le x_2\le1\}$с границей$\Gamma$.

Система уравнений, описывающая течение несжимаемой жидкости в этой области, имеет вид

$${\mathbf\nabla}\cdot{\mathbf u}=0,$$ $$\frac{\partial\mathbf u}{\partial t} +{\mathbf u}\cdot{\mathbf\nabla}{\mathbf u}=-{\mathbf\nabla}p+\frac{1}{Re}\Delta{\mathbf u}$$

Эту систему необходимо дополнить начальными и граничными условиями, для чего выберем

$${\mathbf u}(x_1,x_2,0)={\mathbf u}_0(x_1,x_2),\quad (x_1,x_2)\in\Omega,$$

а также

$${\mathbf u}(x_1,x_2,t)={\mathbf u}_\Gamma(x_1,x_2,t),\quad (x_1,x_2)\in\Gamma,$$

куда$\Gamma=\partial\Omega$является границей домена. Мы допускаем произвольное${\mathbf u}_\Gamma(x,y,t)$, за исключением нижней части границы, которую мы выбираем сплошной нескользящей стенкой, поэтому имеем

$${\mathbf u}_\Gamma(x_1,x_2,t)={\mathbf 0},\quad (x_1,x_2)\in\{(x,0)\,\,\vert \,\,0\le x\le1\}.$$

Обратите внимание, во-первых, что приведенный выше набор уравнений не включает и не требует каких-либо граничных условий для давления. Действительно, давление появляется как множитель Лагранжа в уравнениях импульса, который используется для проецирования решения уравнений импульса на пространство бездивергентных векторных полей. Другими словами, его функция состоит в том, чтобы обеспечить выполнение уравнения неразрывности и сохранение массы.

Полезно подробнее рассмотреть свойства результирующего поля давления. Взяв расходимость уравнений импульса и переставив, находим, что поле давления удовлетворяет уравнению Пуассона

$$\Delta p=\nabla\mathbf u:\nabla\mathbf u,$$

где двоеточие обозначает внутренний продукт$\frac{\partial u_i}{\partial x_j} \frac{\partial u_j}{\partial x_i}$где использовалось правило суммирования.

Чтобы найти граничные значения, которые принимает это поле давления, мы перепишем уравнения количества движения на границах. Поскольку нас конкретно интересует градиент давления по нормали к стенке на твердой стене, давайте спроецируем уравнения импульса на координату по нормали к стене$x_2$чтобы получить

$$\frac{\partial p}{\partial x_2}=-\frac{\partial u_2}{\partial t} -{\mathbf u}\cdot{\mathbf\nabla}{u_2}+\frac{1}{Re}\Delta u_2.$$

Используя граничное условие$\mathbf u\equiv0$у стены это упрощается до

$$\frac{\partial p}{\partial x_2}=\frac{1}{Re}\frac{\partial^2 u_2}{\partial x_2^2}.$$

Таким образом, ясно, что нормальный к стенке градиент давления в общем случае отличен от нуля, и задание нулевого градиента давления на стенке математически несовместимо с исходной задачей. Поскольку этот момент упоминался в комментарии, я также отмечу, что мы не можем, в целом, утешаться внешним видом$1/Re$фактор в приведенном выше выражении, пытаясь доказать, что правой частью можно пренебречь при большом числе Рейнольдса. Это не так, поскольку мы рассматриваем пристеночную область течения, и для оценки относительной величины упомянутой правой части нам может понадобиться рассмотреть локальное число Рейнольдса, соответствующее размеру важных пристеночных областей. -стенные проточные конструкции. Короче говоря, оказывается, что для обширного класса важных течений, таких как пристеночная турбулентность, это локальное число Рейнольдса имеет порядок единицы. Другими словами, мы не можем пренебрегать правой частью любого такого потока.

Давайте теперь прольем немного больше света на потенциальные последствия предоставления неправильных граничных условий для поля давления. Это легче всего увидеть, рассмотрев альтернативную, но эквивалентную формулировку проблемы Навье-Стокса выше. Выяснится, что эта формулировка, известная как «формулировка уравнения давления — Пуассона», также важна для численных подходов к решению этих уравнений. Для этой формулировки мы заменяем комбинацию уравнений непрерывности и импульса в так называемой «формулировке примитивных переменных» уравнений Навье-Стокса комбинацией уравнений давления-Пуассона и импульса, например:

$$\Delta p=\nabla\mathbf u:\nabla\mathbf u,$$ $$\frac{\partial\mathbf u}{\partial t} +{\mathbf u}\cdot{\mathbf\nabla}{\mathbf u}=-{\mathbf\nabla}p+\frac{1}{Re}\Delta{\mathbf u}.$$

Эта система дифференциальных уравнений в частных производных теперь требует следующих начальных и граничных условий:

$${\mathbf u}(x_1,x_2,0)={\mathbf u}_0(x_1,x_2),\quad (x_1,x_2)\in\Omega,$$ $$\mathbf\nabla\cdot{\mathbf u}(x_1,x_2,t)=0,\quad (x_1,x_2)\in\Gamma,$$ $${\mathbf u}(x_1,x_2,t)={\mathbf u}_\Gamma(x_1,x_2,t),\quad (x_1,x_2)\in\Gamma,$$

Обратите внимание, что теперь нам нужно потребовать дополнительное граничное условие, поскольку формулировка уравнения давления-Пуассона была получена из исходной системы с помощью операции дифференцирования, что повысило порядок системы. Вы также можете видеть, что полученная нами система УЧП имеет нестандартную структуру, поскольку теперь у нас есть три граничных условия для поля скоростей и ни одного для давления. Сделаю два важных замечания:

1. Такая ситуация приводит к значительным трудностям в реализации собственных численных схем решения этой системы уравнений. Однако такие схемы возможны и известны как «методы матрицы влияния».
2. В литературе есть поразительно большое количество ссылок, которые рекомендуют использовать граничное условие градиента давления вместо первого из граничных условий, которые мы указали выше. Есть два варианта: (a) Использовать условие нулевого градиента давления. Это приводит к корректной математической задаче, но решение этой задачи не может удовлетворять уравнению неразрывности для несжимаемого потока. Проще говоря, полученное решение неверно . Подчеркнем, что решение математически неверно , и численная схема, использующая такой подход, не будет сходиться к правильному решению Навье-Стокса несмотря ни на что. (б) Использование$\nabla p=(1/Re) \Delta\mathbf u$как граничное условие. Это усугубляет положение : получающаяся в результате проблема теперь математически некорректна и вообще не имеет определенного решения.

Наконец, чтобы лучше понять роль, которую давление играет в несжимаемых решениях Навье-Стокса, может быть полезно посмотреть на поведение дивергенции поля скоростей, учитывая уравнение Пуассона для давления. Взяв расходимость уравнений импульса и подставив туда уравнение Пуассона для давления, придем к

$$\frac{\partial}{\partial t}(\mathbf\nabla\cdot\mathbf u)=\Delta(\mathbf\nabla\cdot\mathbf u).$$

Таким образом, дивергенция скоростей удовлетворяет уравнению теплопроводности. Если надлежащие граничные условия не применяются, на основе соответствующих теорем максимума/минимума для таких уравнений мы, следовательно, ожидаем максимальные ошибки расхождения на границах, которые будут распространяться от границ в область. Само собой разумеется, что для многих течений в пограничном слое (в частности, переходного и турбулентного пограничных слоев) такие ошибки могут быть катастрофическими и полностью разрушить представление о физике течения.

Замечания о численных методах

При рассмотрении подходов к численному решению задачи Навье-Стокса крайне важно понимать точные детали рассматриваемых методов. При этом можно обнаружить, что концепция «граничного условия» часто используется в сообществе чрезвычайно небрежно, что может затруднить определение того, какие уравнения на самом деле используются и почему. Это особенно верно в случае конечно-разностных кодов и кодов конечного объема. Примеров схем, которые либо переопределены, либо математически некорректны, в этой области предостаточно. Спектральные методы и методы конечных элементов обычно требуют большей математической дисциплины и поэтому кажутся немного менее подверженными некоторым ловушкам. Однако одно утверждение мы можем сделать с уверенностью:

Не существует последовательной и точной числовой схемы, нарушающей изложенную выше математику. Неправильные граничные условия для давления приводят к неправильным решениям, конец истории.

В частности, ни в одной успешной численной схеме в вышеуказанном смысле не используется граничное условие нулевого градиента давления для давления. Однако существует ряд численных методов, которые выглядят какони используют неправильные граничные условия, и среди них есть некоторые из наиболее популярных схем, используемых как в исследовательских, так и в коммерческих кодах. Например, в методах дробного шага, а также в алгоритме SIMPLE используются итерационные процедуры, которые используют граничное условие нулевого градиента для шага коррекции давления. Я хочу подчеркнуть, что такие методы могут быть совершенно законными, согласующимися с точными уравнениями и сходящимися к точным решениям. Возможных вариантов таких подходов великое множество и подробно останавливаться на них здесь не имеет смысла. Достаточно сказать, что довольно часто оказывается, что «давление», используемое в ядре таких алгоритмов, не представляет собой математически правильное поле давления, а вместо этого является псевдодавлением .. Полученное решение дает согласованную аппроксимацию поля скоростей, но псевдодавление систематически отклоняется от правильного поля давления. Эту ситуацию можно исправить, а можно и не исправить на дополнительных шагах алгоритма.

Эта ситуация еще более осложняется тем, что точные детали реализации многих численных методов остаются неясными, в результате чего алгоритмы, которые просто не должны работать на основе их формального описания в опубликованном виде, действительно дают полезные приближения по причинам, которые, однако, остаются неясными. . Скажу, что я близко знаком с процессом разработки таких кодов от моей собственной исследовательской группы и от коллег. Слишком часто на самом деле происходит так, что аспирант начинает с плохо продуманного кода, который не должен работать, а затем продолжает работать над ним до тех пор, пока «код не будет исправлен» и не даст в некотором смысле приемлемые результаты. Обсуждение того, что не так с этой картинкой, действительно завело бы меня слишком далеко...

Наконец, гораздо более подробный обзор этой темы см. в обзорной статье Ремпфера в Applied Mechanics Reviews (« О граничных условиях для несжимаемых задач Навье-Стокса », AMR ( 59 ) 2006).