Как генераторы SU(3)SU(3)\mathrm{SU}(3) представлены в глюонном пространстве?

Я смотрел несколько новых лекций по КХД из Колорадо, и у меня есть несколько вопросов о том, что я услышал:

The λ я Дж а являются генераторами С U ( 3 ) в фундаментальном представлении таковы 3 × 3 матрицы. Это потому, что я Дж индексы являются цветовыми индексами, и они действуют на 3 × 1 вектор в цветовом пространстве (цветовая волновая функция кварков). Имеется 8 генераторов (обозначенных индексом ' а ') Итак λ являются векторами в том, что профессор в видео из Колорадо называет «глюонным пространством». Это глюонное пространство покрывается восемью независимыми нетривиально преобразующими состояниями цветовых октетов в восьмимерном реальном гильбертовом пространстве, поэтому каждое из этих состояний может быть отображено в единичный вектор в реальном гильбертовом пространстве, т. е. каждое из них является 8 × 1 единичный базисный вектор.

Насколько я понял из видео, представление λ в цветовом пространстве 3 × 3 Матрицы Геллмана, действующие на цветовую компоненту кварковых полей, вложенных в фундаментальное представление. Каково представление этих лямбда в виде векторов в глюонном пространстве и на что они действуют?

В уравнении А мю "=" А а мю λ а / 2 мы говорим, что глюоны являются в точности генераторами SU( 3 ) в фундаментальном представлении, которые вызывают нетривиальные цветовые преобразования в цветовом пространстве, которые при воздействии на кварковые цветовые волновые функции смешиваются вокруг цветов? Это уравнение также говорит нам, что глюоны живут в алгебре Ли С U ( 3 ) так как глюон А мю можно расширить на базе генераторов Т а "=" λ а / 2 . Алгебра Ли восьмимерна, но почему мы говорим, что они преобразуются при присоединенном представлении С U ( 3 ) ? Я предполагаю, что это связано с вышеизложенным в том, что мы можем записать каждый возможный глюон как базисный вектор в восьмимерном пространстве, но чем они преобразуются?

Ответы (1)

Алгебра Ли и «присоединенное представление» группы Ли почти по определению совпадают.

Когда мы говорим о «генераторах», мы обычно имеем в виду базис алгебры Ли, в данном случае обозначаемый λ а , а е { 1 , 2 , … , 8 } . Индексы я , Дж в λ я Дж а для матриц Гелл-Манна от 1 до 3 и λ я Дж а это просто я Дж -ая запись в λ а *в фундаментальном представлении с ты ( 3 ) (т.е. в представлении как 3 × 3 -матрицы). Кварковое преобразование в фундаментальном представлении, поэтому λ а действуют на их трехмерные цветовые векторы как умножение на эти матрицы Гелл-Манна.

Как и любое другое калибровочное поле, глюонное поле преобразуется в присоединенном к калибровочной группе, поскольку оно является алгебраическизначным. Присоединенное представление определяется действием λ а на любом другом λ б как [ λ а , λ б ] , т. е. карта представления задается скобкой Ли с ты ( 3 ) → Е н д ( с ты ( 3 ) ) , λ а ↦ [ λ а , − ] . Поскольку структурные константы алгебры Ли определяются как [ λ а , λ б ] "=" ф с а б λ с (при действующем соглашении о суммировании) мы можем записать действие λ а на другом λ б также как ф с а б λ с , и поэтому "глюонный вектор" А а λ а превращается в А а ф с а б λ с когда на него действует λ б . Поэтому, если вы хотите написать λ б как 8 × 8 матрица, компоненты этой матрицы являются просто структурными константами ф Дж я б !

Обратите внимание, что глюонное поле имеет алгебраическое значение Ли , а не по своей сути «в фундаментальном представлении», как вы, кажется, думаете. Когда глюонное поле связывается с кварками, оно действует на них как матрицы Гелл-Манна, потому что кварки находятся в фундаментальной, но в глюон-глюонных взаимодействиях мы получаем структурные константы/присоединенное действие, потому что глюонное поле действует на другое глюонное поле скобкой Ли.

Спасибо за ответ! Несколько комментариев: я понимаю представление как гомоморфное отображение из группы г к набору операторов г л ( В ) действующий в линейном векторном пространстве В . Как это определение согласуется с картой, которую вы дали через скобку лжи? Есть ли опечатка в А а ф с а б λ а ? Наконец, мне было интересно, не могли бы вы дать мне ссылку, где я мог бы найти комментарии, которые вы написали о глюонах - содержание большей части третьего абзаца для меня ново, и я не видел Конец использовалось в этом контексте ранее. Еще раз спасибо!
@CAF Обратите внимание, что я даю карту представления г → Е н д ( В ) алгебры Ли . Существует соответствующая карта представления групп Ли г → г л ( В ) (алгебра Ли г л ( В ) является Е н д ( В ) ). Да, была опечатка. Для справки, любое введение в неабелеву теорию Янга-Миллса должно обсуждать эти моменты, хотя и не в тех словах, которые я выбрал здесь. Например, см. главы 6 и 9 здесь .
Хорошо спасибо. Думаю, мне следовало попросить ссылку, где эта карта с участием Конец обсуждается в контексте сопряженного действия. Не могли бы вы предоставить один? например, я не знаком с обозначениями [ λ а , − ] и т. д.
@CAF Я подозреваю, что вы слишком много думаете об этом: Е н д просто обозначает эндоморфизмы В - которые, проще говоря, для n-мерного В просто все квадратные матрицы размерности н . [ λ а , − ] предназначен для обозначения линейной карты, которая дается взятием скобки Ли с λ а , тоже часто пишут а д λ а , ср. например, статья в Википедии о присоединенных представлениях.
Присоединенное действие на уровне группы Ли, я думаю, имеет вид А д г : С U ( 3 ) → г л ( 8 ) с Икс ↦ г Икс г − 1 . Данный г "=" 1 + ϵ λ а , Икс "=" 1 + ϵ λ б , до первого порядка в ϵ , это отображение дает только Икс , то есть г Икс г − 1 "=" Икс . Что это значит?
Как генераторы SU(3)SU(3)\mathrm{SU}(3) представлены в глюонном пространстве?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v