Сколько цветов на самом деле в КХД?

Цветовой заряд — это общий термин, описывающий, как частица трансформируется под$SU(3)$преобразования, т.е. какова его$SU(3)$представление.

Термины «красный», «зеленый» и «синий» относятся к основному или определяющему представлению$SU(3)$который является 3-х мерным. Красный, зеленый и синий относятся к трем базисным векторам в этом представлении, обозначенным как$| r \rangle$,$| g \rangle$,$| b \rangle$. Это представление, в котором живут кварки, поэтому мы можем присвоить кваркам красный, зеленый или синий цвет.

Глюоны живут в присоединенном представлении, которое является 8-мерным. Мы не вводим «новую» цветовую систему для присоединенного представления, потому что есть замечательное свойство, которое позволяет вам построить 8 базисных векторов присоединенного представления, используя 3 красных, зеленого и синего цвета основного представления. Воспользуемся удивительным свойством (имеющим место для$SU(N)$в общем),

$$F \otimes {\bar F} = A \oplus 1 \tag{1}$$ в котором утверждается, что тензорное произведение фундаментального и антифундаментального (сопряженного фундаментального) представления разлагается на присоединенное представление и тривиальное представление.

Точнее, 9 базисных векторов на левой стороне (1) равны

$$\begin{align} | r \rangle | {\bar r} \rangle , | r \rangle | {\bar g} \rangle , | r \rangle | {\bar b} \rangle \\ | g \rangle | {\bar r} \rangle , | g \rangle | {\bar g} \rangle , | g \rangle | {\bar b} \rangle \\ | b \rangle | {\bar r} \rangle , | b \rangle | {\bar g} \rangle , | b \rangle | {\bar b} \rangle \\ \end{align}$$ Присоединенное представление получается из этого путем удаления синглетного (тривиального) представления из приведенного выше, что мы можем сделать, установив $$| r \rangle | {\bar r} \rangle + | g \rangle | {\bar g} \rangle + | b \rangle | {\bar b} \rangle = 0 .$$ Это дает всего 8 базисных состояний в присоединенном представлении. Это представление, в котором живет глюон, поэтому существует 8 глюонов. Однако, как я уже сказал, мы не вводим 8 новых цветов для описания этих глюонов, поскольку мы можем просто комбинировать 3 основных цвета: красный, зеленый и синий.

---

РЕДАКТИРОВАТЬ. Позвольте мне также объяснить разницу между$U(1)$случай и$SU(3)$случай.$U(1)$является абелевой группой, поэтому все ее представления одномерны. Таким образом, чтобы пометить представление (также известное как электромагнитный заряд), вам нужно всего одно число,$n$. Дальше с тех пор$U(1)$является компактной группой, мы также должны иметь$n \in {\mathbb Z}$.

С другой стороны,$SU(3)$является неабелевой группой, поэтому у нее много$k$размерные представления для$k > 1$. Учитывая$k$размерное представление, состояния в этом представлении помечены$k$числа,$a_1,\cdots,a_k$.

Кварк живет в трехмерном фундаментальном представлении, поэтому в общем случае нам нужно 3 числа, чтобы представить его состояние. В общем случае кварковое состояние имеет вид

$$| q \rangle = a_1 | r \rangle + a_2 | g \rangle + a_3 | b \rangle$$ Когда мы говорим, что кварк красный, мы имеем в виду, что у него есть метки.$(a_1,a_2,a_3) = (1,0,0)$. Конечно, кварк вообще может находиться в любой суперпозиции состояний.

Глюон находится в 8-мерном присоединенном представлении, поэтому обычно он помечен 8 числами.

---

РЕДАКТИРОВАТЬ 2: Похоже, я неправильно понял вопрос ОП. Кажется, они хотели спросить о сходстве (или различии) между абелевым и неабелевым законами преобразования.

В абелевом случае закон преобразования

$$\psi \to e^{ i \theta n } \psi$$ Здесь,$\theta$помечает параметр преобразования и$n$обозначает представление, при котором$\psi$трансформируется (он же его электрический заряд).

В неабелевом случае закон преобразования имеет вид

$$\psi \to e^{ i \theta^a T^a } \psi$$ Здесь$\theta^a$— параметры преобразования (аналогично$\theta$в$U(1)$случай) и генераторы$T^a$образующие в представлении, при которых$\psi$трансформируется (аналогично$n$в$U(1)$случай).

Например, если группа$SU(2)$затем

1. Если$\psi$преобразуется в тривиальном представлении, то$T^a = 0$.

2. Если$\psi$преобразуется в фундаментальном представлении, то$T^a = \frac{1}{2} \sigma^a$где$\sigma^a$матрицы Паули.

3. Если$\psi$преобразуется в присоединенном представлении, то

   $$T^1 = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \\ \end{array} \right) , \qquad T^2 = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & i \\ 0 & 0 & 0 \\ -i & 0 & 0 \\ \end{array} \right) , \qquad T^3 = \left( \begin{array}{ccc} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) .$$

Аналогичным образом можно записать все матрицы для$SU(3)$тоже, но он длиннее, поэтому я не буду здесь заморачиваться (см. здесь ).

Еще раз подчеркну: "заряд" любой частицы всегда соответствует ее представлению в группе симметрии. Для$U(1)$группа, представления помечены одним целым числом$n$поэтому мы называем$n$электрический заряд. В неабелевом случае представления не помечаются одним целым числом, поэтому пометка не так проста. В этом случае мы просто даем имя представлению. Используя этот язык, мы бы сказали, что цветовой заряд кварка «фундаментальный», а цветовой заряд глюона «сопряженный».

В представлении есть много состояний! Опять же, в$U(1)$Представления case одномерны, поэтому каждое представление содержит только ОДНО (уникальное) состояние. Следовательно, кроме целого числа$n$для описания этого состояния не требуется никакой другой информации.

В неабелевом случае представления имеют большую размерность, поэтому для описания состояния частицы нужно больше информации, чем просто ее представление — нужно указать точный вектор. Таким образом, цветовой заряд кварка является «фундаментальным», и его цветовое зарядовое состояние может быть красным, зеленым или синим (или их суперпозицией).