Как могут возникнуть стоячие волны в открытой органной трубе, если концы открыты?

Это попытка чисто интуитивно объяснить, почему звуковые волны отражаются от конца открытой трубы и, следовательно, могут создавать стоячую волну.

Рассмотрим волну давления, распространяющуюся вверх по трубе. Я нарисовал только один максимум волны давления, чтобы не загромождать диаграмму:

Назовите максимальное давление$P_1$(я не отметил$P_1$на диаграмме, потому что он не отображается на точках, и я не могу изменить цвет текста в Google Draw), а минимальное давление$P_0$. Волна давления движется, потому что воздух уходит от высокого давления$P_1$и к низкому давлению$P_0$. Однако, поскольку воздух находится в трубке, он может течь только вдоль трубки (зеленые стрелки) и не может течь вбок (красные стрелки), потому что трубка мешает. Это ограничение потока ограничит разницу давлений между$P_1$и$P_0$.

Теперь рассмотрим, что происходит, когда волна давления достигает конца трубы:

Теперь стенки трубы больше не ограничивают поток, поэтому воздух может течь от максимума давления во всех направлениях. В результате расход вдали от максимума будет больше, чем в трубке, а давление упадет до меньшего значения, чем минимальное давление в трубке:

Но теперь воздух начнет поступать обратно в область низкого давления, а поскольку давление там меньше$P_0$отскок создаст давление больше, чем$P_1$:

И это последний шаг в нашем споре. Следующая волна по ходу движется к концу трубы под давлением$P_1$встречается с областью сразу за пределами трубы с более высоким давлением$P > P_1$, и результатом является отраженная волна давления обратно вниз по трубе.

Вот так волна давления отражается от конца открытой трубы.

Начав с первых принципов или обратившись к внешним источникам , вы можете обнаружить , что волны давления в воздухе (в одном измерении) описываются волновым уравнением

где$x$это позиция и$t$это время, и$p$обозначает разность давлений вдали от равновесия. Чтобы решить эту проблему, запишем решение в виде преобразования Фурье$^{[a]}$

Для каждого значения$k$и$\omega$должно быть верно одно из двух: либо$\tilde{p}(k,\omega)=0$или$\omega^2/v^2 - k^2 = 0$. Случай, когда$\tilde{p}(k,\omega)=0$тривиальны: волны нет. В другом случае для конкретного выбора$k$и$\omega$у нас есть волна с определенной формой

Теперь рассмотрим органную трубу, которую мы стимулируем с частотой$\omega$. В этом случае линейная комбинация может состоять только из следующих двух частей:

Предположим, что труба идет от$x=-L/2$к$x=L/2$. Два конца открыты для наружного воздуха, поэтому в этих точках$p \approx 0$. Это наши граничные условия . Из формы$p(x,t)$вы можете убедить себя, что единственно возможное решение — это когда$M_{\text{left}} = M_{\text{right}}$и$k=\pi/L$.$^{[b]}$Ввод этого дает

Остановитесь и задумайтесь на минуту о значении этого уравнения. Это колебание давления воздуха внутри трубы с косинусоидальным пространственным профилем, а также косинусоидальное колебание во времени. Другими словами, труба даже с открытыми концами может совершать колебания с частотой$\omega$. Обратите внимание, что перепад давления на концах трубы равен нулю по конструкции (т.е. наш выбор$k$), но есть еще режимы вибрации!

$[a]$Я опустил здесь фазу, которая, если вы вставите ее и выполните все до конца, не изменит аргументации.

$[b]$На самом деле возможных значений больше$k$. Они соответствуют высшим модам колеблющейся воздушной волны. Посмотрим, сможешь ли ты понять, что я имею в виду :)

Просто: концы органной трубы отражают волну в трубе. Закрытый конец вызовет пучность давления, а открытый конец вызовет узел давления.

Этой информации достаточно для определения форм колебаний любой трубы. Если оба конца одного типа (открытые или закрытые), длины волн разрешенных мод будут определяться выражением$\lambda = n \, \ell /2$; если два конца разные,$\lambda = (2n+1)/4 \, \ell$

ОБНОВЛЯТЬ

Следуя предложению Джона Ренни, стоит попытаться дать интуитивное объяснение «отражению в открытом конце» — поскольку, казалось бы, там нет «ничего», что могло бы вызвать отражение. Вот мой способ понять это:

Звуковая волна обычно распространяется во всех направлениях (вспомните принцип Гюйгенса), но когда она распространяется по органной трубе, она может двигаться только в одном направлении, а именно вдоль трубы. Когда он достигает конца их канала, это ограничение внезапно исчезает, и именно поэтому в этот момент может произойти частичное отражение.

Не вся волна может продолжать двигаться вперед, поскольку воздух снаружи трубы «чувствует себя иначе», чем воздух внутри — это называется акустическим импедансом и мало чем отличается от импеданса линии электропередачи или показателя преломления оптической среды. Акустический импеданс связывает давление и амплитуду волны - и без учета стенок, которые меняются, так как давление будет ниже при той же амплитуде. Для всех волн скачок импеданса приводит к (частичному) отражению.

Да, выше есть несколько хороших частичных объяснений того, как мы получаем отражение на открытом конце. Также очень важно понимать, что это происходит только тогда, когда длина волны равна или больше ширины отверстия ... иначе при небольшой длине волны звук будет распространяться в основном в виде прямых лучей из трубы, как пули из ружья. с малым углом дифракции. Когда трубка сужается, мы можем думать о волне, встречающейся с отверстием, и полная энергия, прошедшая через отверстие для этого граничного условия, падает намного быстрее, чем площадь (может быть, лямбда в степени 4?). внутри выстраивается возвратно-поступательный резонанс, даже небольшой процент становится заметным.