Как можно определить работу трения в нескольких измерениях?

Замечательный вопрос. Вы абсолютно правы, мы не можем определить силовое поле для трения, как для гравитации. Но формула работы

$$W=\int_\gamma \vec{F}\cdot\vec{dr}$$

все еще держит. Нам просто нужно быть немного более осторожными в том, как мы пишем$\vec{F}$. Естественно (как и для гравитации) мы хотим записать$\vec{F}$исключительно в зависимости от положения. То есть,

$$\vec{F}=F_x(x,y,z)\,\hat{i}+F_y(x,y,z)\,\hat{j}+F_z(x,y,z)\,\hat{k}.$$

Например, гравитация имеет постоянное силовое поле,$\vec{F} = -g\,\hat{k}$. Затем, чтобы решить проблему, мы бы параметризовали кривую$\gamma = (x(t),y(t),z(t))$, замените все x, y и z в уравнении для$\vec{F}$с этими новыми выражениями (в терминах$t$), а затем сделать линейный интеграл.

Но нам не нужно было писать$\vec{F}$исключительно с точки зрения$x$,$y$, и$z$. На самом деле форма, которую я написал выше, может быть и не особенно полезна — мы даже не использовали ее напрямую! Мы использовали его только как инструмент, чтобы получить$\vec{F}$в каждой точке кривой, и, в более широком смысле, чтобы получить$\vec{F}$каждый раз$t$. Но если мы уже знаем что-то из этого, то нам не нужно заниматься этой гимнастикой.

Например, как обстоят дела с кинетическим трением? Ну, это всегда против движения, или в направлении, противоположном скорости. Кроме того, он имеет постоянный размер, зависящий от массы объекта ($F_{f} = \mu_k N$). Итак, мы знаем$\vec{F}$!

$$\vec{F} = - F_f \,\vec{\gamma'(t)}$$

Здесь я написал знак вектора для акцента. Отсюда, надеюсь, вы видите, что по кривой мы можем найти работу за счет трения. Дайте мне знать, если у вас все еще есть проблемы с деталями.

Меня учили, что при заданном силовом поле F работа, совершаемая силой над определенной кривой$\gamma$определяется как линейный интеграл указанного поля вдоль$\gamma$.

Трение — это сила, но она не является производной от силового поля (в любом полезном смысле). Так что ваше утверждение, хотя и верное, неприменимо. (В данном случае нам не «дали силовое поле»!) Поэтому мы возвращаемся к более общему определению, согласно которому работа — это чистый расход энергии, который, в свою очередь, равен интегралу по времени от мощности, приложенной к системе:

$$W = \int \mathbf{F}(t) \cdot \mathbf{v}(t) \, dt$$ где v — скорость, t — время.

Меня учили, что при заданном силовом поле F работа, совершаемая силой над определенной кривой$\gamma$определяется как линейный интеграл указанного поля вдоль$\gamma$.

Все хорошо, но, возможно, это утверждение не единственный способ оценить проделанную работу, учитывая, что может быть непрактично оценивать силовое поле.

Силовое поле для двух примеров, которые вы привели, гравитации и пружины, легко оценить, потому что они статичны.
Для вашего примера гравитации это силовое поле должно быть динамическим в том смысле, что гравитационное притяжение в точке может зависеть от любого количества движущихся масс.
В таком случае можно сказать, что в какой-то момент времени существует силовое поле, а затем это силовое поле изменяется в следующий момент времени.
Вам действительно нужно оценивать все силовое поле в каждый момент времени, чтобы оценить проделанную работу?
Не проще ли представить, что в какой-то момент времени существует силовое поле, а выяснить только, какая сила находится в положении частицы?

Трение немного отличается тем, что направление силы трения зависит от скорости частицы, на которую действует эта сила трения.
В некотором смысле это может немного облегчить жизнь, поскольку все, что нужно знать, это величина силы трения, поскольку ее направление будет противоположно направлению скорости частицы.
В таком случае, когда направление силы трения определяется только скоростью частицы, вы можете создать скалярное силовое поле, которое дает величину силы трения как функцию положения, скорости частицы и времени.

Опять же, хотя вы можете представить, что существует скалярное силовое поле, вас интересует только то, что происходит в определенной позиции.

Итак, подбросьте мяч вертикально вверх и дайте ему снова упасть.
Силовое поле из-за гравитации не является проблемой, поскольку оно статично.
Силовое поле, возникающее из-за трения, очень динамично, но в данный момент вас интересует только величина силы трения, которая будет зависеть от скорости мяча.
При снижении скорость мяча на определенной высоте вполне может быть другой, поэтому силовое поле в этот момент будет отличаться от поля, когда мяч двигался вверх, но все, что вам нужно сделать, это вычислить величину силы трения в этот момент. точка.

Для трения с какой-либо средой:

Из функции диссипации Рэлея вы можете взять трение как функцию скорости и определить его как градиент (специальный) некоторого скалярного поля.

$$\vec{f}=\vec{f}(\vec{v})=\vec\nabla_v \:(\mathcal{F})$$ где $\vec\nabla_v$определяется следующим образом $$\vec\nabla_v =\dfrac{\partial}{\partial v_x}\hat x + \dfrac{\partial}{\partial v_y}\hat y +\dfrac{\partial}{\partial v_z}\hat z$$ В этом случае вам нужно знать скорость объекта, а не положение, чтобы знать силу в данный момент.

Для «нормального» трения:

На самом деле вы можете определить трение из-за движения по поверхности (например, по плоскости xy).

$$\vec f = \begin{cases} f_x\hat x +f_y \hat y& \text{over the surface} \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$