Может ли ∫(ϕ¨+µϕ˙2)dϕ∫(ϕ¨+µϕ˙2)dϕ\int (\ddot\phi + \mu\dot\phi^2)d\phi быть отрицательным? Как это показать?

Интеграция по частям или с использованием тождества$\frac{d}{dt}\dot{\phi}^2=\dot{\phi}\ddot{\phi}+\dot{\phi}\ddot{\phi}$здесь будет хитрость:

$\frac{d\phi}{dt}dt=d\phi$, так:

$\int \ddot{\phi} d\phi=\int \ddot{\phi} \dot{\phi} dt=\dot{\phi}^2-\int \ddot{\phi}\dot{\phi}dt$. Применяя обычный прием (добавление интеграла к обеим частям и деление на два), это показывает$\int \ddot{\phi}d\phi=\frac{1}{2}\dot{\phi}^2$. Теперь легче понять, что может означать положительное/отрицательное значение. Если$\dot{\phi}_0$это какая-то огромная скорость, и мы замедлили ящик, толкая (а не тяня), мы действительно делаем отрицательную работу (которую мы могли бы использовать для выработки энергии или подъема другого ящика или чего-то еще). На самом деле, вы могли бы доминировать над всеми другими терминами с помощью этой отрицательной работы и найти$W_F$быть отрицательным. Таким образом, вы должны ограничить начальную/конечную скорость коробки. Например, если угловая скорость равна нулю в начале и в конце, то$\ddot{\phi}$интеграл также должен быть равен нулю.

Я рассматриваю только$\ddot{\phi}$термин, потому что свобода, которая$\mu$дает другого интеграла достаточно, чтобы сделать много вещей. Нравится - в силу возни$\mu$чтобы быть меньше - поверните случай, когда член в квадрате фи доминирует над отрицательным$\ddot{\phi}$термин, в тот, где отрицательный$\ddot{\phi}$член доминирует над термином фи-квадрат.

(Я действительно сонный, так что извините, если здесь есть вопиющая ошибка)