Как мы количественно определяем такого рода информацию в квантовой механике?

Question

Как мы количественно определяем такого рода информацию в квантовой механике?

Золото

Пусть задана квантовая система с гильбертовым пространством $\mathscr{H}$ . Предположим, что оно описывается квантовым состоянием $\rho$ , т. е. матрица плотности. Мы можем определить энтропию фон Неймана как

С (р) "=" - Тр р бревно р .

$S(\rho)=-\operatorname{Tr}\rho\log\rho.$

Можно показать, что $S(\rho)=0$ если и только если $\rho$ чисто, другими словами, если существует $|\psi\rangle\in \mathscr{H}$ такой, что

р "=" | ψ ⟩ ⟨ ψ | .

$\rho=|\psi\rangle\langle \psi|.$

Далее предположим, что $|\psi\rangle$ является чистым состоянием. Очевидно, он кодирует некоторую информацию о рассматриваемой системе.

Например, предположим, что система представляет собой нерелятивистскую частицу со спином 1/2 массы $m$ . В этом случае полный набор состояний $|\mathbf{p},\sigma\rangle$ собственные состояния импульса и спина. Затем

Если $|\psi\rangle = |\mathbf{p},\sigma\rangle$ у нас есть информация, что импульс $\mathbf{p}$ , спин $\sigma$ а масса $m$ .
Если $|\psi\rangle = c_+|\mathbf{p},1/2\rangle+c_-|\mathbf{p},-1/2\rangle$ у нас есть информация, что импульс $\mathbf{p}$ , эта масса $m$ и у нас есть некоторая информация о вращении, хотя с ней связана неопределенность .
Если $|\psi\rangle = \int f(\mathbf{p})|\mathbf{p},\sigma\rangle d^3\mathbf{p}$ у нас есть то же самое рассуждение выше. У нас есть информация, что спин $\sigma$ , масса $m$ и у нас есть некоторая информация о импульсе .

Сейчас если $S(\rho)$ количественно определяет информацию, мы обязательно имели бы $S(|\psi\rangle\langle \psi|)=0$ . Тем не менее мне кажется неправильным говорить, что «информация об этом состоянии равна нулю». Как я уже сказал, во всех приведенных выше примерах у нас есть хоть какая-то информация о системе.

Для начала во всех штатах точно знаем массу. Это уже информация.

Во-вторых, если $\mathbf{p},\sigma$ описываются спинорной волновой функцией

Ψ (п) "=" (\begin{matrix} ψ_{+} (п) \\ ψ_{-} (п) \end{matrix}),

$\Psi(\mathbf{p})=\begin{pmatrix}\psi_+(\mathbf{p})\\ \psi_-(\mathbf{p})\end{pmatrix},$

у нас есть некоторая информация о $\mathbf{p}$ и $\sigma$ содержалась в $\Psi(\mathbf{p})$ это должно быть определено количественно с некоторой мерой неопределенности.

В частности $\Psi(\mathbf{p})_{i}=\delta(\mathbf{p}-\mathbf{q})\delta_{ij}$ должно означать «максимальная информация» — мы знаем импульс и вращение . И у нас должен быть «минимум информации» — состояние с максимальной неопределенностью этих переменных .

Таким образом, из всего вышесказанного кажется очевидным, что чистые состояния связаны с информацией . Информация, кажется, связана с наблюдаемыми. И, наконец, кажется, что эта информация интуитивно должна быть количественно определена мерой, варьирующейся от «минимум информации/максимальная неопределенность» до «максимальная информация/минимальная неопределенность».

Более того, энтропия фон Неймана, по-видимому, не отражает этого, поскольку она говорит, что такое состояние не имеет связанной с ним информации, что, по-видимому, не соответствует действительности.

Так как же нам количественно оценить эту информацию, содержащуюся в чистом виде, в конце концов?

изометрия

Хороший вопрос, я думаю, но вам, возможно, придется переставить части: проверка энтропии = 0 на самом деле является максимальной негэнтропией - это то, что измеряет информацию.

ХХДД

С точки зрения теории информации информация означает неопределенность. Таким образом, для чистого состояния энтропия фон Неймана = 0 означает, что в его состоянии нет неопределенности. Но это не значит, что мы не можем извлечь информацию о его состоянии. Как и в классической системе, бит с фиксированным значением 1 не несет никакой информации, поскольку в нем нет неопределенности. Но вы все еще можете утверждать, что у нас есть информация о том, что бит находится в состоянии 1. Мы должны быть осторожны, используя слово «информация».

Золото

Итак, в конце концов, когда кто-то говорит об информации, он имеет в виду не «информацию, которой мы располагаем в настоящее время», а на самом деле «информацию, которую можно найти экспериментальным путем»? Так что, когда мы все это знаем, больше ничего нельзя узнать и информация равна нулю?

Ответы (1)

Как мы количественно определяем такого рода информацию в квантовой механике?

Хороший вопрос, я думаю, но вам, возможно, придется переставить части: проверка энтропии = 0 на самом деле является максимальной негэнтропией - это то, что измеряет информацию.
С точки зрения теории информации информация означает неопределенность. Таким образом, для чистого состояния энтропия фон Неймана = 0 означает, что в его состоянии нет неопределенности. Но это не значит, что мы не можем извлечь информацию о его состоянии. Как и в классической системе, бит с фиксированным значением 1 не несет никакой информации, поскольку в нем нет неопределенности. Но вы все еще можете утверждать, что у нас есть информация о том, что бит находится в состоянии 1. Мы должны быть осторожны, используя слово «информация».
Итак, в конце концов, когда кто-то говорит об информации, он имеет в виду не «информацию, которой мы располагаем в настоящее время», а на самом деле «информацию, которую можно найти экспериментальным путем»? Так что, когда мы все это знаем, больше ничего нельзя узнать и информация равна нулю?

юггиб · Answer 1

Чистые состояния действительно несут максимальную информацию . На самом деле они максимальны относительно частичного порядка $\prec$ на состояниях, определяемых следующим образом.

Позволять $\rho,\omega$ быть два состояния. Мы говорим, что $\rho \prec \omega$ если существует $0\leq\lambda\leq 1$ такой, что $\rho\geq \lambda \omega$ , где $\geq$ большее или равное отношение на операторах (т.е. $A\geq 0$ если $\langle\psi, A\psi\rangle \geq 0$ для всех $\psi$ ).

Сейчас, $\omega$ является экстремальным или чистым состоянием тогда и только тогда, когда оно максимально относительно $\prec$ , в смысле $\omega\prec\varpi$ если $\varpi=\lambda\omega$ , для некоторых $0\leq \lambda\leq 1$ .

Из этого определения нетрудно понять, почему чистые состояния несут максимальную информацию о системе среди состояний. В самом деле, пусть $\rho$ быть смешанным состоянием. Тогда существуют два состояния $\varpi_1$ и $\varpi_2$ , и $0<\lambda<1$ такой, что

р "=" λ ϖ_{1} + (1 - λ) ϖ_{2} .

$\rho=\lambda\varpi_1 +(1-\lambda)\varpi_2\; .$ На самом деле существует (возможно, бесконечное) множество чистых состояний

Ω = {ω_{i}, i \in I}

$\Omega=\{\omega_i,i\in I\}$ и коэффициенты

{0 < λ_{i} < 1, i \in I}

$\{0<\lambda_i<1,i\in I\}$ такой, что

р "=" \sum_{я е я} λ_{я} ю_{я} .

$\rho=\sum_{i\in I} \lambda_i\omega_i\; .$

Следовательно, информация, которую несет смешанное состояние $\rho$ (его описание системы) полностью закодировано в информации, которую несет множество $\Omega$ чистых состояний и вообще кодируется другими состояниями . С другой стороны, чистое состояние несет максимальную информацию, поскольку информация, которую они несут, не может быть закодирована в информации, содержащейся в любом другом состоянии . Набор $P$ чистых состояний, таким образом, исчерпывает (посредством выпуклых комбинаций) все возможные конфигурации системы и, таким образом, содержит в некотором смысле все возможные знания о системе.

Как мы количественно определяем такого рода информацию в квантовой механике?

Золото

изометрия

ХХДД

Золото

Ответы (1)

юггиб

Определение энтропии в квантовой механике

Какая связь между энтропией и квантовой информацией? [закрыто]

Энтропия фон Неймана смесей когерентных состояний

Квантовая информационная помощь по энтропии фон Неймана / Шеннона

Действительно ли неопределенность и корреляции — это одно и то же?

Локальная декогеренция и энтропия

Увеличение энтропии против сохранения информации (QM)

Верна ли эта теория о Вселенной и информации?

Связана ли энтропия фон Неймана с теплопередачей?

Естественные единицы информации