Увеличение энтропии против сохранения информации (QM)

Унитарность квантовой механики запрещает уничтожение информации. С другой стороны, второй закон термодинамики утверждает, что энтропия возрастает. Если энтропию следует рассматривать как меру содержания информации, то как эти два принципа могут быть совместимы?

Я не думаю, что в этом парадоксе есть что-то квантово-механическое. Тот же вопрос можно поставить и в классической физике. Для гамильтоновой системы динамика всегда обратима, поэтому информация сохраняется. Тогда можно было бы спросить, как может увеличиться энтропия для классической системы, если энтропия является мерой информации.

Разгадка заключается в том, что энтропия — это не мера общего информационного содержания системы, а мера количества скрытой информации, т. е. информации, недоступной для макроскопических измерений.

Например, скажем, книга скользит по столу, пока трение не остановит ее. Теоретически мы можем войти в комнату, посмотреть на остановленную книгу, измерить положения и импульсы всех частиц, из которых она состоит, а затем использовать законы Ньютона, чтобы экстраполировать назад во времени и увидеть, что книгу толкнули в определенном направлении. направлении, в определенное время, с определенной скоростью. Но на самом деле эта информация скрыта от нас, потому что другие истории книги привели бы к конечным состояниям, неотличимым от этого состояния макроскопическими измерениями.

Общая информация осталась прежней, но количество скрытой информации увеличилось.

Записав это, мне кажется, что это просто увеличенная версия ответа Тримока, но я не совсем уверен, правильно ли я его понял.

Я считаю, что термодинамическая энтропия не тождественна квантово-механической энтропии фон Неймана. Как вы уже указали, унитарность квантовой механики подразумевает, что полная энтропия Вселенной остается постоянной. Однако, чтобы вычислить это, вам нужно состояние вселенной.

Итак, энтропия в термодинамике — это экстенсивное свойство. Энтропия системы равна сумме энтропий ее (невзаимодействующих) подсистем. Это означает, что для вычисления термодинамической энтропии вы можете разделить свою систему на более мелкие, невзаимодействующие части. Часто вы будете делать это, фактически не имея невзаимодействующих систем — вы просто пренебрегаете некоторыми диссипативными процессами, подразделяете свою систему и добавляете энтропии. Один из примеров, о котором вы наверняка слышали в статистической механике, — это два одинаковых ящика с частицами, которые вы складываете вместе, и тогда вы получаете удвоенную энтропию.

Это неверно для квантово-механической энтропии. Энтропия не аддитивна, а субаддитивна (кроме сепарабельных состояний, тогда она аддитивна). Это означает, что сумма энтропии частей системы больше, чем энтропия суммы. И именно в этом смысле второй закон имеет для меня смысл: взаимодействующая система будет распределять запутанность через взаимодействие — эта запутанность разрушает аддитивность энтропии и гарантирует, что в конце концов термодинамическая энтропия действительно будет больше, чем фон Неймана. энтропия системы (которая при единичном временном развитии не растет).

Иными словами: энтропия фон Неймана системы — это полная информация в системе, и она сохраняется. Если термодинамическая энтропия одинакова (система находится в состоянии большого произведения), то вся эта информация может быть в некотором смысле доступна локально. Затем изменение термодинамической энтропии говорит нам, какая часть этой информации становится глобально распределенной, так что она становится недоступной локально (если энтропия начинается с 0, то это будет соответствовать утверждению, что энтропия измеряет количество информации, которая находится в глобальном масштабе). запутанность, т.е. «однородная информация»?).

В заключение: поскольку наша термодинамическая энтропия обычно будет вычисляться с использованием локальных энтропий подсистем, второй закон гласит, что со временем система будет становиться все более и более запутанной в глобальном масштабе. Однако истинная энтропия фон Неймана для всей системы всегда будет одной и той же.

Также имейте в виду, что некоторые из известных понятий термодинамики (например, температура) относятся к случаям, когда существуют скрытые от нас степени свободы (например, тепловой резервуар). В квантовой механике это можно сформулировать с помощью составных систем, формулировки матрицы плотности и частичных следов.

Если у нас есть полное знание системы, с точки зрения квантовой механики, то эта система находится в одном состоянии, и только в одном состоянии (рисунок Гейзенберга, если хотите), и остается в этом состоянии навсегда, и поэтому энтропия или изменение энтропии не происходит. или что-то еще. Но, заявляя о незнании частей системы, мы восстанавливаем классические представления статистической механики. Вы можете прочитать об энтропии фон Неймана .

Информационная интерпретация энтропии , также известная как энтропия Шеннона, интерпретирует энтропию как увеличение во времени количества информации, содержащейся в замкнутой системе. Эта интерпретация привлекательна для теоретиков информации, включая многих программистов, но на первый взгляд кажется, что она противоречит теореме квантовой механики о сохранении информации .

Разрешение этого кажущегося противоречия, как отмечали другие, заключается в том, что энтропия Шеннона и квантовая механика используют немного разные определения «информации». Грубо говоря: в квантовой механике это полная несжатая информация, а в энтропии Шеннона — полная сжатая информация. Для иллюстрации рассмотрим следующие растровые изображения:

На словах: 1-й битмап описан: сетка 6x6 с 6 пикселями в верхнем ряду (хорошо и коротко); в то время как 2-й битмап описан: сетка 6x6 с 6 пикселями в позициях (4,1), (5,3), (6,3), (2,4), (4,5) (намного длиннее).

В компьютерах: Сжатый файл (.gif) 1-го растрового изображения намного меньше, чем файл 2-го растрового изображения.

Оба растровых изображения имеют одинаковый размер и содержат одинаковое количество пикселей, поэтому общий объем несжатой информации в них одинаков в соответствии с сохранением информации. Однако информация может быть сжата без потерь в большей степени в 1-м растровом изображении, поэтому 2-е растровое изображение содержит больше сжатой информации. Соответственно, без (несжатой) потери информации энтропия 2-го битмапа выше.

Заметки:

• Этот пример сильно упрощен, но достаточно хорош, чтобы понять суть. Во-первых, «информация» в обеих системах относится к динамическим системам, тогда как этот пример основан на статической системе. Любой, кто понимает сжатие MPEG, может распространить пример на динамическую систему и увидеть, что применяются те же основные принципы. Во-вторых, энтропия Шеннона имеет дело с вероятностями, а не с конкретным алгоритмом сжатия, но аналогия работает достаточно хорошо.
• Вместо «сжатия» некоторым нравится использовать «порядок»: первое растровое изображение более «упорядочено», чем второе растровое изображение. Аналогичная интерпретация - «однородность»: 1-й растр более «однороден», чем 2-й растр. Трудность с этим выбором слов заключается в том, что на простом английском языке жидкость в замкнутой термодинамической системе при максимальной энтропии кажется «однородной» или «упорядоченной» — температура, давление и молекулы равномерно распределены по системе — поэтому она может легко привести в замешательство. Сжатие труднее понять без знаний в области компьютерных наук, но с меньшей вероятностью будет неправильно истолковано.
• Надеюсь, объяснение на словах поможет тем, у кого нет опыта в области компьютерных наук. В качестве альтернативы использование термина «скрытая» информация (согласно другому ответу) может помочь или не помочь.

Энтропию можно рассматривать как «однородную» информацию. Например, в каноническом формализме (постоянная температура) мы можем написать$\beta F = \beta U- \frac{S}{k}$, куда$F$есть свободная энергия Гельмгольца , и$U$внутреннюю энергию.$\beta U$представляет собой полную информацию,$\beta F$представляет собой неоднородную информацию, и$\frac{S}{k}$представляет единую информацию.

Коллапс волновой функции (или измерение в системе КМ) не является унитарным, поскольку является проекцией вектора состояния.

По моему скромному мнению, ответ на вопрос связан с тем, что для проективных измерений энтропия состояния всегда увеличивается или остается неизменной. Однако я считаю, что следует также учитывать энтропию системы измерения. Интуитивно я думаю, что энтропия измеряемой системы должна уменьшаться или оставаться неизменной, в то время как энтропия измеряемой системы увеличивается или остается неизменной. Я думаю, что для описания таких измерений нужно было бы придумать новый формализм. По моему скромному мнению, формализм будет выглядеть примерно так:

1. Система измерения должна описываться состоянием так же, как и измеряемая система.
2. Состояние измерительной системы, а также состояние измеряемой системы изменяются после измерения.

Если вы сможете придумать формализм, описывающий это, то, надеюсь, из этого следует вывод, что энтропия измеряемой системы уменьшается или остается неизменной, в то время как энтропия измеряемой системы увеличивается или остается неизменной.

Некоторые комментарии к помещениям могут оказаться полезными и ответить на вопрос:

[1] Унитарность квантовой механики запрещает уничтожение информации.

На самом деле это означает уравнение эволюции фон Неймана для матрицы плотности$D(t)$изолированной системы запрещает изменение энтропии фон Неймана:

Точно так же в классической механике гамильтонова эволюция запрещает изменение функционала информационной энтропии («энтропия Гиббса»):

Ни один$N$ни$I$то же понятие, что и термодинамическая энтропия$S$. Вполне возможно, что термодинамическая энтропия$S$увеличиваться, пока они остаются постоянными (например, когда в системе совершается необратимая работа без теплообмена). Это объясняет Джейнс в своих статьях.

[2] С другой стороны, второй закон термодинамики утверждает, что энтропия возрастает.

Нет, для термически изолированной системы (к которой относится выше) второй закон термодинамики утверждает:

при переходе термически изолированной системы из одного термодинамически равновесного состояния$A$в другое термодинамически равновесное состояние$B$(процесс, таким образом, адиабатический), увеличение его термодинамической энтропии$S$больше или равно 0.

Если энтропию следует рассматривать как меру содержания информации, то как эти два принципа могут быть совместимы?

Термодинамическая энтропия$S(U,V,N)$можно рассматривать как максимальное значение энтропии фон Неймана/Гиббса для всех$D$или же$\rho$совместимый с ограничениями$U,V,N$и, таким образом, действительно может рассматриваться как мера информации, которой не хватает для определения микросостояния или «информационного содержания», хотя это очень вводящее в заблуждение название. Лучше термин просто «информационная энтропия макросостояния», так как она зависит от последнего.

Эти утверждения не противоречат друг другу. Наоборот, можно показать, что в процессе перехода состояния А в состояние В в необратимом адиабатическом процессе постоянство$I$вместе с воспроизводимостью результирующего состояния фиксированного адиабатического процесса следует, что$\Delta S \geq 0$.

Джейнс, ET, 1965, «Энтропии Гиббса против Больцмана», Am. J. Phys., 33, 391 http://bayes.wustl.edu/etj/articles/gibbs.vs.boltzmann.pdf сек. 4,5

Я написал статью именно по этому вопросу! https://aurelien-pelissier.medium.com/on-the-conservation-of-information-and-the-second-law-of-thermodynamics-f22c0645d8ec

Короче говоря, энтропия (или информация), ограниченная теоремой Лиувилля, — это не то же самое, что энтропия, о которой говорит Второй закон. Последнее говорит о количестве скрытой информации (информации, недоступной макроскопическим измерениям), а первое — об общем информационном содержании системы. Или, другими словами, необратимость термодинамики является статистическим эффектом и не противоречит обратимости классической/квантовой механики.

Чтобы пойти немного дальше, они связаны с различиями между мелкозернистой и грубой энтропией системы. Энтропия фон Неймана обычно мелкозернистая, поэтому она остается постоянной в замкнутой системе. С другой стороны, второй закон гласит, что крупнозернистая энтропия замкнутой системы увеличивается .

Запрещение уничтожения информации из-за унитарности — это лицемерие (извините, я хочу повторить некоторые вещи из публикации « Куда девается удаленная информация? »), а понятие энтропии туманно, особенно в квантовом контексте: несмотря на определения, упомянутые в предыдущие ответы, нет возможности когда-либо узнать квантовое состояние реально сложной материальной системы.

Вы спрашиваете, как согласовать термодинамику с квантовой механикой. Короткий ответ: есть две разные эволюции . Унитарная эволюция описывает точку зрения квантовой механики, но мы, сознательные существа, видим совершенно другую картину, потому что потребляем негэнтропию (или производим энтропию, если вам так больше нравится). В то время как квантовая механика видит все «квантовое состояние» (из-за пределов Вселенной), пока оно подвергается единой эволюции, мы не можем его видеть.

Почему это так? Предлогов для ответа три пункта:

1. мы, сознательные существа, тоже принадлежим этому миру;
2. квантовая суперпозиция; а также
3. открытые квантовые системы.

Из пункта 1 следует, что сознательное существо должно описываться как квантовая система так же, как и объекты, что оно должно иметь квантовые состояния. Хотя есть обоснованные сомнения в том, что квантовое состояние может быть четко определено без внешнего наблюдателя , это не имеет решающего значения, поскольку мы можем предположить наличие очень удаленного (другого) наблюдателя. Представьте себе две «версии» сознательного существа: одну с мыслью  А и соответствующим состоянием Ψ _A , а другую с мыслью  B и соответствующим состоянием Ψ _B . Мы предполагаем, что каждое из состояний допускает эволюцию в будущем. Теперь применим пункт 2, рассмотрим состояние в суперпозиции, например:

Мы чувствуем стрелу времени. Другими словами, мы в будущих состояниях сохраняем воспоминания о прошлом. Здесь необходим пункт 3. Открытая квантовая система — это вещь, взаимодействующая с окружающей средой (а значит, потенциально со всей Вселенной). Специфические для этой теории процессы называют иногда декогеренцией , иногда суперселекцией , но суть одна: взаимно-однозначное соответствие векторов состояния не обязательно является взаимно-однозначным соответствием нашего сознания. К сожалению, я не очень большой специалист в этой области, и никто толком не понимает, как это происходит; пожалуйста, не спрашивайте меня об этом. Никто точно не знает, может ли наш разум идеально работать в системе.закрыто. Лично я считаю, что космологические факторы играют определенную роль в открытости квантовой эволюции (хотя многие физики назвали бы это ересью). Но независимо от механизмов так называемая «энтропия» увеличивается, когда мы продвигаемся в будущее (вы можете спросить, как увеличение энтропии обеспечивает нашу стрелу времени, но это чисто термодинамика и теория информации, а не квантовая физика). Вот почему наш опыт направлял переходы, и эти переходы из одного состояния в другое, с возможными альтернативными вариантами будущего, и есть наша эволюция термодинамических существ . Это вещь, абсолютно не похожая на унитарную эволюцию, и она проявляется на квантовом уровне как редукция вектора состояния фон Неймана, также известная как коллапс волновой функции.

Почему на самом деле происходят эти странные процессы и притом только в одном направлении времени? Почему, теоретически, одно наше прошлое может превратиться в несколько будущих, но несколько версий прошлого не могут соединиться в одном будущем? Есть некоторые предложения, но в целом это открытая проблема. Роджер Пенроуз считает, что это связано с низкой энтропией космологической сингулярности, я думаю, что это следует из «истинной структуры пространства-времени», и, возможно, разные взгляды не исключают друг друга. Но увеличение энтропии при термодинамических процессах есть экспериментальный факт, который мы, термодинамические существа, легко можем заметить.