Как на самом деле вычислить амплитуэдр?

После этого вопроса Аркани-Хамед, среди прочих, опубликовал текст « Грассманова геометрия амплитуд рассеяния» , в котором в педагогической форме разъясняется амплитуэдрический подход.

Чтобы полностью понять вывод, нужно понять много предварительных условий, но я попытаюсь представить относительно автономное вычисление амплитуды, но это требует принятия некоторых результатов априори . Книга Эльванга и др. «Амплитуды рассеяния» также является хорошим справочником.

---

Ключевой фигурой в амплитуэдрическом подходе является грассманиан $\mathrm{Gr}(k,n)$что есть пространство всего$k$-самолеты в$n$-мерное пространство. В качестве элементов$n\times k$матрицы$C_{al}$которые$k$ $n$-компонентные векторы, которые определяют плоскость в$\mathbb C^n$.

Однако обратите внимание на формализм спинорной спиральности, указав импульсы как$p_{\alpha \dot \alpha} = \lambda_\alpha \bar{\lambda}_{\dot \alpha}$, мы можем сделать масштабирование$\lambda_\alpha \to t_\alpha \lambda_\alpha$и описывают одни и те же импульсы, поэтому имеем$GL(1)$избыточность. Для грассманиана это означает, что мы рассматриваем любое невырожденное линейное преобразование для описания одной и той же плоскости, и поэтому мы имеем$GL(k)$избыточность.

Ключом к оценке амплитуд является уникальный циклически инвариантный интеграл, который порождает все инварианты Янга, определяемые формулой

$$\mathcal L_{n,k}([i|, |i\rangle, \eta_i) = \int\frac{d^{n \times k} C}{GL(k) \prod_{j=1}^n M_j} \left[ \prod_{a=1}^k \delta^2 \left(\sum_i C_{ai}[i| \right) \delta^{(4)} \left(\sum_{i}^n C_{ai}{\eta_i}_A\right)\right] \times$$ $$\times \left[ \prod_{a'=k+1}^n \delta^2 \left(\sum_i \tilde C_{a' i} \langle i|\right)\right]$$

где$M_j$являются минорами, а внешние данные укажем как$([i|, |i\rangle, \eta_i)$в импульсном пространстве, где$\eta_i$являются суперпартнерами и$\tilde C$является дополнением$C$. Оказывается это$\mathcal L_{n,k}$— циклический инвариантный интеграл по всем$k$-плоскости в грассманиане.

Ограничения дельта-функции геометрически означают, что$2$-плоскость, натянутая на$[i|$ортогонален$k$-самолет$C$и аналогично плоскость, определяемая$|i\rangle$ортогонален$(n-k)$-самолет$\tilde C$. С$C,\tilde C$являются дополнениями, каждая из них соответственно содержит плоскости, натянутые$[i|$и$|i\rangle$. Из геометрии мы в конечном итоге бесплатно получаем закон сохранения импульса:

$$\sum_{i=1}^n |i\rangle [i| = 0.$$

Давайте теперь вычислим$\mathcal L_{n,2}$. Для$k=2$отождествим плоскости, заданные матрицами$C$как те, на которые натянуты импульсные данные. У нас есть,

$$\begin{pmatrix} C_{11} &C_{12} & \dots & C_{1n}\\ C_{21} & C_{22} & \dots & C_{2n} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} |1\rangle^i &|2\rangle^i & \dots & |n\rangle^i\\ |1\rangle^{\dot 2} & |2\rangle^{\dot 2} & \dots & |n\rangle^{\dot 2} \end{pmatrix}.$$

Бозонная дельта-функция кодирует$\delta^{(4)}(P) = 0$а дельта-функция Грассмана кодирует сохранение суперимпульсов,$\delta^{(8)}(\tilde Q) = 0$. Несовершеннолетние,

$$M_i = \epsilon^{ab}C_{ai}C_{b,i+1} = -\epsilon_{\dot a \dot b} |i\rangle^{\dot a} |i+1\rangle^{\dot b} = -\langle i, i+1 \rangle$$

и объединение всех факторов дает,

$$\mathcal L_{n,2} = (-1)^n \frac{\delta^{(8)}(\tilde Q) \delta^{(4)}(P)}{\prod_{i=1}^n \langle i, i+1 \rangle}$$

которая представляет собой амплитуду MHV на уровне дерева,$\mathcal A_{n}^{\mathrm{MHV}}$, записанный в компактном формализме спинорной спиральности.

Начнем с того, что формализм Амплитуэдра работает только для конкретной теории, N = 4 SYM в плоском пределе (рассматриваются только плоские диаграммы Фейнмана). Из-за суперсимметрии вы можете классифицировать процессы рассеяния с двумя параметрами:$n$и$k$. n — количество вовлеченных частиц, а k — это, грубо говоря, количество переворотов спина в процессе.

Кроме того, есть еще и количество петель$L$для которого вы хотите выполнить расчет. Имейте в виду, что на уровне цикла вы вычисляете не (супер)амплитуду, а подынтегральное выражение амплитуды. То есть благодаря планарному пределу вы можете однозначно определить функцию, зависящую от внешних данных + виртуальных импульсов, которые необходимо проинтегрировать, чтобы получить амплитуду. Чтобы уточнить, это то, что вы получите, если поменяете местами$\sum_{diagrams} \int_{loops} = \int_{loops} \sum_{diagrams}$, вы можете сделать это без двусмысленности, потому что планарность позволяет выбрать схему для фиксации переменных цикла. Это подынтегральная функция производится Амплитуэдром на уровне петли.

Теперь для любого$n,k$и$L$и для фиксированных внешних данных$Z$(а$(k+4) \times n$матрица, которая в конечном итоге кодирует внешние импульсы и суперимпульсы), вы строите амплитуэдр$A_{n,k,L}$стандартным образом. На уровне дерева ($L=0$) это подмножество$G_{+}(k,k+4)$очков$Y$написано как$Y = C . Z$, для любого$C$в$G_{+}(k,n)$. На уровне петли немного сложнее, но ничего страшного.

Важной особенностью Амплитуэдра является то, что его можно «триангулировать» очень интересным способом. (Под треугольником мы подразумеваем разделение его на зоны, которые имеют общую только свою границу.) Фактически, в предыдущей работе было показано, что амплитуда/подынтегральная функция для$n,k,L$записывается как сумма по некоторым диаграммам на оболочке, которые, в свою очередь, обозначают определенные ячейки в грассманиане.$G_{+}(k,n)$. (Для получения этого выражения амплитуд используются правила BCFW.) Если рассмотреть изображение этих клеток под картой$Y = C . Z$вы получаете триангуляцию Амплитуэдра!

Теперь эти Амплитуэдра имеют коразмерность один «границы». Это нуль-локусы неотрицательных функций, определенных на амплитуэдрах. Важным моментом будет то, что эти границы могут быть записаны как произведение других Амплитуэдров. Вы можете определить (уникальную?) форму объема на Амплитуэдре при условии, что она должна иметь логарифмические особенности (например, 1/x) на этих границах коразмерности один.

Конкретный способ сделать это - рассмотреть триангуляцию амплитуэдров, например, ту, которая вытекает из рекурсивных соотношений BCFW, как указано выше. На каждом «треугольнике» вам уже дана форма, имеющая логарифмические особенности на грани «треугольника». Это связано с тем, что клетки$G_{+}(k,n)$используемые в этой триангуляции, снабжены простыми положительными картами$(\alpha_1, ... , \alpha_d)$который позволяет достичь границы ячейки, установив определенные$\alpha$до нуля. Поэтому формы$\Pi d\alpha/\alpha$иметь желаемое свойство по ячейке. Вы просто суммируете эти формы по ячейкам: «ложные» полюса, связанные с границами ячеек, которые не являются границами амплитуэдра, отменяются (они являются общими для двух ячеек), и у вас остаются правильные логарифмические особенности.

Но вы также можете получить эту форму тома другими способами, руководствуясь определением, как описано в статье.

Наконец, вы оцениваете форму объема, полученную выше, в определенной точке амплитуэдра, и вы получаете амплитуду / подынтегральное выражение.

Процедура кажется немного сложной и абстрактной, но на самом деле идея довольно проста. Геометрия амплитуэдра отражает сложные свойства факторизации амплитуд/интегральных выражений, требуемые Локальностью и Унитарностью: границы амплитуэдра факторизуются в соответствующих меньших амплитуэдрах. Поэтому форма с логарифмическими особенностями на этих границах также будет иметь правильные полюса и факторизации.