Когда аномалия является однопетлевой точной?

Прежде чем ответить на вопрос, замечу, что количество циклов, необходимое для точного получения аномалии, не является инвариантной величиной; аномалия физическая, а количество петель - нет.

В случае киральной аномалии нам необходимо оценить петлевую диаграмму, потому что мы используем поля Грассмана в качестве координат бесконечномерного конфигурационного пространства фермионов. В противном случае очень трудно заниматься квантовой теорией поля, но мы должны помнить, что поля Грассмана — это просто координаты, а потому не имеющие физического значения. Киральную аномалию можно получить на древовидном уровне из классического лагранжиана частицы Вейля, т.е. классически, см. следующую работу Стоуна и Двиведи$^1$. Эта работа основана на фундаментальной работе : Стефанова и Инь (Хиральная кинетическая теория).

Суть их построения можно сформулировать в весьма остроумных рассуждениях о фазовом пространстве, приведенных Харзеевым на основе глубокого наблюдения Грибова .

Глубокое изучение аргумента Стефанова и Инь (или Стоуна и Двиведи) показывает, что единственная дополнительная информация, необходимая помимо классического лагранжиана частицы Вейля, заключается в том, что она подчиняется статистике Ферми-Дирака (здесь у нас нет переменных Грассмана, чтобы принять позаботьтесь об этой части) и что мы работаем в пределе бесконечного объема.

Учитывая вышеизложенное, исключительным явлением, связанным с аномалией, является то, что ее можно точно вычислить (независимо от количества петель). Конечно, есть топологические объяснения этой точности в случае киральной аномалии, но топологические рассуждения не охватывают всех случаев, когда величины могут быть точно вычислены в теории возмущений.

Глубинная причина — суперсимметрия.

В математике это явление известно как эквивариантная локализация, основанная на фундаментальной работе Дуистермаата и Хекмана, см. следующий физически ориентированный обзор Сабо. (Строгие математические результаты существуют в основном для конечномерных случаев; приложения интеграла по путям были введены в физической литературе; они менее строги, но привели к замечательным результатам, особенно Виттеном).

По сути, локализация означает, что вместо выполнения интеграла по всему фазовому пространству результат может быть получен путем суммирования вкладов от меньшего подмножества, которое может быть дискретным или, в случае интегралов по путям, может быть конечномерным многообразием (вместо бесконечномерное пространство путей). См. следующую презентацию Хосомичи . Существование суперсимметрии отвечает за разрешимость$N=2$суперсимметричные калибровочные теории в$4$размеры.

Теперь о том, как киральная аномалия связана с вышесказанным: согласно методу собственного времени Швингера, процессы, описываемые возбуждениями квантовых полей, могут быть выражены как квантово-механические (т. е. в$0+1$размеры) интегралы по траекториям, см. следующий обзор Бастианелли и ван Ньювехейзена. Это верно, например, для процесса, описываемого диаграммой треугольника. Квантово-механическое действие описывает вращающуюся частицу в$0+1$размеры, которые являются суперсимметричными, поэтому могут быть решены с помощью методов локализации. Именно это и сделали Фридан и Винди в своей основополагающей работе .

$^1$Хотя Стоун и Двиведи отмечают, что выравнивание спина по угловому моменту безмассовой частицы является квантовым явлением; его можно получить полностью в классической механике, см. Дюваля и Хорвати .