Каковы различия (если они есть) между определением серии Дайсона и определением «вход/выход» матрицы SSS?

Входящие и исходящие состояния определяются как решения уравнения Липпмана-Швингера с соответствующими граничными условиями, заданными выбором контура ($\pm \varepsilon$).

$$| \psi^{(\pm)}_a \rangle = | \phi_a \rangle + \frac{1}{E - H_0 \pm i \epsilon} V |\psi^{(\pm)}_a \rangle$$ Если вы рассчитаете $S_{ab}=\langle \psi_b^-|\psi^+_a\rangle$вы найдете рекурсивное отношение для S-матрицы. $$S_{ab}=\delta(a-b)-2i\pi\delta(E_a-E_b)T_{ab}.$$ $$T_{ab}=V_{ab}+\int dc\frac{V_{cb}T_{ac}}{E_a-E_c+i\varepsilon}$$ $$T_{ab} = \langle \phi_b |V|\psi^{(\pm)}_a \rangle$$ $$V_{ab} = \langle \phi_b |V|\phi_a \rangle$$ Если вы повторяете эту рекурсивную связь снова и снова, вы остаетесь с серией. Этот ряд можно идентифицировать с временным порядком желаемой экспоненты, если вы используете это: $$\frac{1}{E_b - E_c + i \epsilon}=-i\int_0^{\infty} dt \exp\left[{i(E_b-E_c)t -\varepsilon t}\right]$$ Тогда вы можете увидеть, что адиабатическое взаимодействие включения и выключения — это то же самое, что $\pm i\varepsilon$в уравнении Швингера-Липпмана, т. е. навязывание существования состояний внутреннего и внешнего рассеяния.

В подходе LSZ мы идем к другому корню. У нас уже есть формальный гамильтониан (теория КТП). Рассеивающие состояния можно построить из этого гамильтониана, ища долгоживущие состояния с некоторым отношением дисперсии. Математически они являются полюсами двухточечной корреляционной функции. $Z$требуется только в том случае, если вы хотите работать с этими фундаментальными полями внутри гамильтониана, такими как поля в корреляционной функции. Тогда нужно предположить, что поле создает и разрушает иные состояния, чем рассеивающие.

За всеми этими подходами стоит адиабатическое предположение. В конечном итоге связано с тем, что существуют состояния рассеяния, ведущие себя как свободная частица. Разница в том, что в подходе Липпмана-Швингера у вас есть асимптотические физические частицы, а в LSZ у вас есть самодействующие голые частицы, порождающие физические.

Ответ Ногейры был действительно полезен, я просто хотел добавить несколько замечаний задним числом.

Когда я написал этот вопрос, одна из вещей, которая меня смутила, заключалась в том, что я не мог понять, как состояния «вход» и «выход», которые определяются в формальной теории рассеяния, например, с помощью уравнения Липпмана-Швингера (см. ответ Ногейры) , будет совпадать с состояниями, созданными полями «в» и «вне» из вакуума, например:

$$\vert \mathbf p \text { in}\rangle=i\intop \text d^3{\mathbf x} f_{\mathbf p }^* (x) \overleftrightarrow {\partial _0} \phi _{\text {in}}(x)\vert 0 \rangle.$$

Если определить поле «в» для скалярного случая с помощью линейной комбинации:

$$\phi _{\text {in}}(x)=\intop \text d ^3\mathbf p \lbrace a_{\text {in}}(\mathbf p )f_{\mathbf p}(x)+\text {h.c.}\rbrace,$$ и, в свою очередь, определяет $a(\mathbf p )$как оператор разрушения для состояний «в», то соответствие тавтологическое.

Однако некоторые тексты (например, Bjorken&Drell) начинаются с операторов «вход» и «выход», определяемых уравнениями Янга-Фельдмана:

$$\phi _{\text{in}}(x)=\phi (x)-\intop \text d ^4 y \Delta _{R}(x-y)j(y),$$ где $\Delta _R$- запаздывающая функция Грина для уравнения Клейна-Гордона и $\phi$- (перенормированное) взаимодействующее поле, которое удовлетворяет: $$(\square +m^2)\phi =j.$$ В этом случае соответствие сразу не очевидно, так как нужно доказать, что волновые пакеты, построенные из $\phi _{\text {in}}$действительно сходятся (по крайней мере слабо) к свободным состояниям.

Именно этим вопросам посвящена старая статья Швебера С. « О формализме Янга-Фельдмана », а также (весьма легче для чтения) его книга «Введение в квантовую теорию поля», гл. 17d, где он определяет поле in с помощью

$$\phi _{\text {in}}(x)=e^{iHt}\Omega^+ \phi (\mathbf x ,0)(\Omega ^+)^\dagger e^{-iHt},$$ и доказывает, что удовлетворяет уравнению Янга-Фельдмана.