Как найти плотность планеты и ее ядра с учетом гравитационного сжатия в них?

Техника для этого аналогична той, что используется при построении звездных моделей. Вы знаете некоторые свойства вашего объекта — в данном случае это масса и радиус. Вы хотите выяснить внутреннюю структуру планеты, включая центральную плотность и давление, а также профили плотности и давления в зависимости от радиуса. Лучший способ сделать это следующим образом:

1. Определить зависимость между плотностью и давлением — то, что мы называем уравнением состояния. Мы пишем это как$\rho = f(P)$.
2. Сделайте предположение о центральном давлении и, следовательно, о центральной плотности, используя приведенное выше соотношение.
3. Численно проинтегрируйте дифференциальные уравнения, определяющие строение планеты. Начните с ядра и идите наружу.
4. Как только ваши уравнения покажут, что вы достигли поверхности планеты, посмотрите, каковы предсказанные масса и радиус.
5. Учитывая результат шага 4, скорректируйте свои предположения относительно центрального давления и плотности и повторите шаги 3 и 4.

Два уравнения, которые вам нужны, кроме уравнения состояния, это уравнение гидростатического равновесия.$(1)$и уравнение неразрывности массы$(2)$:

$$\frac{dP}{dr} = -\frac{GM_r\rho}{r^2}\tag{1}$$ $$\frac{dM}{dr} = 4\pi r^2\rho\tag{2}$$ Здесь,$P$это давление,$\rho$плотность,$r$радиус,$G$- гравитационная постоянная, и$M_r$это масса, содержащаяся в радиусе$r$: $$M_r = \int_0^r 4\pi r'^2\rho(r')dr'$$ Допустим, что на заданном радиусе$r_i$, вы знаете давление, плотность и массу в пределах этого радиуса -$P_i$,$\rho_i$, и$M_{r,i}$. Предположим, что ваша интеграция использует некоторый размер шага$\Delta r$. Тогда значения на радиусе$r_{i+1}$являются $$r_{i+1} = r_i + \Delta r$$ $$P_{i+1} = P_i + \Delta P = p_i + \frac{dP}{dr}\Delta r = P_i - \frac{GM_{r,i}\rho_i}{r_i^2}\Delta r$$ $$\rho_{i+1} = f(P_{i+1})$$ $$M_{r,i+1} = M_i + \Delta M = M_i + \frac{dM}{dr}\Delta r = M_i + 4\pi r_i^2\rho_i\Delta r$$ Продолжайте делать это, пока не достигнете поверхности планеты, т.е.$P = 0$, затем повторяйте шаги с 3 по 4 с новым предположением, пока не будете удовлетворены предсказанными моделью массой и радиусом.

Я применил эту процедуру в своем ответе на другой вопрос , хотя мне нужно было выполнить шаги с 3 по 4 только один раз - я все понял с разумным центральным давлением. Я использовал уравнение состояния от Seager et al. 2008 г. , предназначенный для каменистых планет.